1974-1975

XXVI - III - Zadanie 6

Dane są funkcje $ S $ i $ T $, $ S(x) = 1 - x $, $ T(x) = -\frac{1}{2} $ dla $ 0\leq x \leq 1 $. Czy istnieje funkcja $ f $ postaci

\[<br />
(1) \qquad f= g_1 \circ g_2 \circ \ldots g_n, \text{ gdzie }g_k = T \text{ lub } g_k = S<br />
\]

dla $ k = 1,2, \ldots, n $ przy pewnym naturalnym $ n $ taka, że

\[<br />
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1975}{2^{1975}} ?<br />
\]

XXVI - III - Zadanie 5

Dowieść, że trójkąt o kącie $ \alpha $ można wpisać w koło o promieniu $ R $ i opisać na kole o promieniu $ r $ wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
\frac{2R}{r} \geq \frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}\left( \frac{\alpha}{2}\right)}<br />
\]

XXVI - III - Zadanie 4

W rozwinięciu dziesiętnym pewnej liczby naturalnej występują cyfry 1, 3, 7 i 9. Udowodnić, że przez permutację cyfr tego rozwinięcia można otrzymać rozwinięcie dziesiętne liczby podzielnej przez 7.

XXVI - III - Zadanie 3

Wyznaczyć najmniejszą liczbę dodatnią $ \alpha $, dla której istnieje liczba dodatnia $ \beta $ taka, że dla każdego $ x $ z przedziału $ \rangle 0; 1\rangle $ jest

\[<br />
\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \leq 2-\frac{x^{\alpha}}{\beta}<br />
\]

Dla wyznaczonej wartości $ \alpha $ znaleźć najmniejszą liczbę dodatnią $ \beta $ spełniającą tę nierówność.

XXVI - III - Zadanie 2

Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 wybrano skończony zbiór odcinków w taki sposób, że każde dwa wierzchołki czworościanu można połączyć łamaną złożoną z pewnych spośród tych odcinków. Czy można wybrać ten zbiór odcinków tak, aby ich łączna długość była mniejsza niż $ 1 + \sqrt{3} $?

XXVI - III - Zadanie 1

Ciąg liczb rzeczywistych $ {a_k}_{k=1}^{\infty} $ spełnia następujący warunek:
Istnieje liczba naturalna $ n $ taka, że $ a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0 $ i $ a_{n+k} = a_k $ dla $ k = 1, 2, \ldots $.
Dowieść, że istnieje taka liczba naturalna $ N $, że $ \sum_{i=N}^{N+k} $ dla $ k = 0 $, $ 1, 2, \ldots $.

XXVI - II - Zadanie 6

Niech $ f(x) $ i $ g(x) $ będą wielomianami o współczynnikach całkowitych. Dowieść, że jeżeli dla każdej wartości całkowitej $ n $ liczba $ g(n) $ dzieli się przez liczbę $ f(n) $, to $ g(x) = f(x)\cdot h(x) $, gdzie $ h(x) $ jest wielomianem,. Pokazać na przykładzie, że współczynniki wielomianu $ h(x) $ nie muszą być całkowite.

XXVI - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą ścianę tego wielościanu można pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian drugiego koloru.

XXVI - II - Zadanie 4

Dowieść, że na to, aby liczby nieujemne $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ($ n = 1, 2, \ldots $) spełniały dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ nierówność

\[<br />
\left( \sum_{i=1}^n a_i x_i^2 \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i x_i^4.<br />
\]

potrzeba i wystarcza, aby $ \sum_{i=1}^n a_i \leq 1 $.

XXVI - II - Zadanie 3

W pewnej rodzinie mąż i żona zawarli następującą umowę: Jeżeli któregoś dnia zmywa naczynia żona, to następnego dnia zmywa naczynia mąż. Jeżeli natomiast pewnego dnia zmywa naczynia mąż, to o tym, kto zmywa naczynia następnego dnia, decyduje losowanie za pomocą rzutu monetą. Niech $ p_n $ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że $ n $-tego dnia trwania umowy zmywa naczynia mąż. Dowieść, że istnieje granica $ \lim_{n\to \infty} p_n $ i obliczyć ją. Przyjmujemy $ p_1 = \frac{1}{2} $.

Subskrybuje zawartość