1973-1974

XXV OM - III - Zadanie 6

Podzielono $ n $-kąt wypukły przekątnymi na trójkąty w ten sposób, że
1° z każdego wierzchołka wychodzi parzysta liczba przekątnych,
2° żadne dwie przekątne nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Udowodnić, że $ n $ jest podzielne przez 3.

XXV OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $ n $, $ r $ spełniają nierówność $ r + 3 \leq n $,to liczby $ \binom{n}{r} $, $ \binom{n}{r+1} $, $ \binom{n}{r+2} $, $ \binom{n}{r+3} $ nie są kolejnymi wyrazami żadnego ciągu arytmetycznego.

XXV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ i ciągu liczb rzeczywistych $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ istnieje liczba naturalna $ k \leq n $ taka, że

\[<br />
\left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq \max_{1\leq i \leq n} |a_i|<br />
\]

XXV OM - III - Zadanie 2

Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi $ p > 0 $, a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi $ q > 0 $. Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ze łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w $ n $ próbach pod warunkiem, że w $ n $ próbach nie pokona obu wodospadów.

XXV OM - III - Zadanie 1

W czworościanie $ ABCD $ krawędź $ \overline{AB} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $ i $ \measuredangle ACB = \measuredangle ADB $. Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $ \overline{AB} $ i środek krawędzi $ \overline{CD} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $.

XXV OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg liczb całkowitych $ a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1} $ o następującej własności: po odrzuceniu dowolnego wyrazu pozostałe można podzielić na takie dwie grupy po $ n $ wyrazów, że suma wyrazów w pierwszej grupie równa jest sumie wyrazów w drugiej. Dowieść, że wszystkie wyrazy ciągu są równe.

XXV OM - II - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $ q,t \in \langle \frac{1}{2}; 1) $, $ t \in (0; 1 \rangle $. Udowodnić, że istnieje taki rosnący ciąg liczb naturalnych $ {n_k} $ ($ k = 1,2, \ldots $), że

\[<br />
t = \lim_{N\to \infty} \sum_{j=1}^N q^{n_j}.<br />
\]

XXV OM - II - Zadanie 4

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ o polu $ S $ każdy z boków podzielono na 3 równe części i poprowadzono odcinki łączące odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków w ten sposób, że czworokąt został podzielony na 9 czworokątów. Dowieść, że suma pól następujących trzech czworokątów powstałych z podziału: zawierającego wierzchołek $ A $, środkowego i zawierającego wierzchołek $ C $ równa jest $ \frac{S}{3} $.

XXV OM - II - Zadanie 3

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $ D $ czworościanu $ ABCD $ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $ \overline{AB} $, $ \overline{BC} $ i $ \overline{CA} $ należą do jednej płaszczyzny.

XXV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $ n = 2, 3, \ldots $ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $, $ s_1, s_2, \ldots, s_n $, jeżeli

\[<br />
\sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0.<br />
\]
Subskrybuje zawartość