1971-1972

XXIII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że suma cyfr liczby $ 1972^n $ dąży do nieskończoności, gdy $ n $ dąży do nieskończoności.

XXIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że wszystkie podzbiory zbioru skończonego można ustawić w ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się jednym elementem.

XXIII OM - III - Zadanie 4

Na prostej nie mającej punktów wspólnych z kulą $ K $ dane są punkty $ A $ i $ B $. Rzut prostokątny $ P $ środka kuli $ K $ na prostą $ AB $ lezy między punktami $ A $ i $ B $, przy czym $ AP $ i $ BP $ są większe od promienia kuli. Rozpatrujemy zbiór $ Z $ trójkątów $ ABC $, których boki $ \overline{AC} $ i $ \overline{BC} $ są styczne do kuli $ K $. Udowodnić, że $ T $ jest trójkątem o największym obwodzie spośród trójkątów zbioru $ Z $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ T $ jest trójkątem o największym polu spośród trójkątów zbioru $ Z $.

XXIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieje taki wielomian $ P(x) $ o współczynnikach całkowitych, że dla wszystkich $ x $ z przedziału $ \langle \frac{1}{10}, \frac{9}{10}\rangle $ zachodzi nierówność

\[<br />
\left| P(x) - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{1000}<br />
\]

XXIII OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $ n > 2 $ punktów, z których żadne trzy nie ją współliniowe. Udowodnić, że najkrótsza spośród łamanych zamkniętych przechodzących przez te punkty jest łamaną zwyczajną.

XXIII OM - III - Zadanie 1

Wielomiany $ u_1(x) = a_ix + b_i $ ($ a_i, b_i $ - liczby rzeczywiste; $ i = 1, 2, 3 $) spełniają dla pewnego naturalnego $ n > 2 $ równanie

\[<br />
(1) \qquad [u_1(x)]^n + [u_2(x)]^n = [u_3(x)]^n.<br />
\]

Udowodnić, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ A, B, c_1, c_2, c_3 $, że $ u_i(x)=c_i(Ax+B) $ dla $ i = 1, 2, 3 $.

XXIII OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że istnieje funkcja $ f $ określona i różniczkowalna w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, spełniająca warunki

\[<br />
\begin{split}<br />
|f'(x) - f'(y)| \leq 4|x-y|<br />
\end{split}<br />
\]

XXIII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że w czworokącie wypukłym wpisanym w koło proste przechodzące przez środki boków i prostopadłe do boków przeciwległych przecinają się w jednym punkcie.

XXIII OM - II - Zadanie 4

Sześcian o krawędzi długości $ n $ podzielono płaszczyznami równoległymi do jego ścian na $ n^3 $ sześcianów jednostkowych. Ile istnieje par złożonych z takich sześcianów jednostkowych, które mają nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne?

XXIII OM - II - Zadanie 3

Współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie kartezjańskim $ XOY $ są liczbami całkowitymi. Dowieść, że średnica koła opisanego na tym trójkącie jest nie większa od iloczynu długości boków trójkąta.

Subskrybuje zawartość