1970-1971

XXII OM - III - Zadanie 6

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości 1. Udowodnić, że:
1) Na powierzchni $ S $ czworościanu istnieją takie cztery punkty, że odległość każdego punktu powierzchni $ S $ od jednego z tych czterech punktów nie przekracza $ \frac{1}{2} $.
2) Na powierzchni $ S $ nie istnieją trzy punkty o podobnej własności.
Przez odległość punktów należących do $ S $ rozumiemy kres dolny długości łamanych zawartych w $ S $ łączących te punkty.

XXII OM - III - Zadanie 5

Znaleźć największą liczbą całkowitą $ A $ taką, że dla każdej permutacji zbioru liczb naturalnych nie większych od 100 suma pewnych 10 kolejnych wyrazów jest co najmniej równa $ A $.

XXII OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $ x, y, z, n $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad x^n+y^n = z^n,<br />
\]

to $ \min (x, y) > n $.

XXII OM - III - Zadanie 3

Ile co najmniej zamków trzeba założyć do skarbca, aby przy pewnym rozkładzie kluczy z 11-osobowej komisji upoważnionej do otwierania skarbca każdych 6 członków mogło go otworzyć, ale żadnych 5 nie mogło? Określić rozdział kluczy między członków komisji przy minimalnej liczbie zamków.

XXII OM - III - Zadanie 2

Na stole bilardowym w kształcie trójkąta, którego miary kątów są współmierne, pchnięto kulę z pewnego punktu wewnętrznego. Kula odbija się od ścian zgodnie z prawem "kąt padania równy kątowi odbicia". Udowodnić, że liczba kierunków, w jakich może się poruszać kula, jest skończona. (Zakładamy, że kula nie trafia w wierzchołek trójkąta).

XXII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a_n $ jest ciągiem różnych liczb naturalnych, których rozwinięcia dziesiętne nie zawierają, cyfry O, to

\[<br />
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} < 29.<br />
\]

XXII OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg nieskończony $ \{a_n\} $. Dowieść, że jeżeli

\[<br />
a_n + a_{n+2} > 2a_{n+1} \quad \tex{ dla } \quad n = 1, 2, \ldots,<br />
\]

to

\[<br />
\frac{a_1+a_3+\ldots a_{2n+1}}{n+1} \geq \frac{a_2+a_4+\ldots a_{2n}}{n}<br />
\]

dla $ n = 1, 2, \ldots $.

XXII OM - II - Zadanie 5

Dany jest zbiór liczb $ \{1, 2, 3, \ldots, 100\} $. Ze zbioru tego utworzyć 10 podzbiorów parami rozłącznych $ N_i = \{a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots a_{i,10}} $ ($ i = 1, 2, \ldots, 10 $) tak, aby suma iloczynów

\[<br />
\sum_{i=10}^{10}\prod_{j=1}^{10} a_{i,j}<br />
\]

była największa.

XXII OM - II - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów $ Z $ o tej własności, że żadne dwie odległości punktów zbioru $ Z $ nie są równe. Punkty $ A, B $ należące do $ Z $ łączymy wtedy i tylko wtedy, gdy $ A $ jest punktem najbliższym $ B $ lub $ B $ jest punktem najbliższym $ A $. Udowodnić, że żaden punkt zbioru $ Z $ nie będzie połączony z więcej niż pięcioma innymi.

XXII OM - II - Zadanie 3

Danych jest 6 prostych w przestrzeni, z których żadne 3 nie są równoległe, żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt i żadne 3 nie są zawarte w jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że wśród tych 6 prostych istnieją 3 proste wzajemnie skośne.

Subskrybuje zawartość