1968-1969

XX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $ n $ punktów płaszczyzny nie zawierający się w jednej prostej. Dowieść, że istnieje okrąg przechodzący przez co najmniej trzy z tych punktów, wewnątrz którego nie ma żadnego z pozostałych punktów zbioru.

XX OM - III - Zadanie 5

Dla jakich wartości $ n $ istnieje wielościan mający $ n $ krawędzi?

XX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a, b, p, q, r, s $, spełniają warunki

\[<br />
(1) \; qr-ps = 1,\quad  (2) \;  \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s}<br />
\]

to

\[<br />
b \geq q+s.<br />
\]

XX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że ośmiokąt, którego wszystkie boki są równe, a wszystkie długości boków są liczbami wymiernymi, ma środek symetrii.

XX OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_n $, z których każde dwie są różne. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem

\[<br />
(1) \qquad y = |x-a_1| + |x-a_2| + \ldots + |x-a_n|<br />
\]

XX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c $, spełniają warunek

\[<br />
(1) \qquad \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} = 0,<br />
\]

gdzie $ m $ oznacza liczbę dodatnią, to równanie

\[<br />
(2) ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

ma pierwiastek zawarty między 0 i 1.

XX OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że każdy wielościan ma co najmniej dwie ściany o tej samej liczbie boków.

XX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli przy rzutowaniu równoległym jednej płaszczyzny na drugą płaszczyznę obrazem pewnego kwadratu jest kwadrat, to obrazem każdej figury jest figura do niej przystająca.

XX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych min zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad 1^m + 2^m + \ldots + n^m \geq n\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^m<br />
\]

XX OM - II - Zadanie 3

Dany jest czworokąt $ ABCD $ wpisany w koło. Obrazami punktów $ A $ i $ C $ w symetrii względem prostej $ BD $ są odpowiednio punkty $ A' $ i $ C' $, a obrazami punktów $ B $ i $ D $ w symetrii względem prostej $ AC $ są odpowiednio punkty $ B' $ i $ D' $. Dowieść, że punkty $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ leżą na okręgu.

Subskrybuje zawartość