1967-1968

XIX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $ n > 3 $ punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe, oraz liczba naturalna $ k < n $. Udowodnić twierdzenia:
1. Jeżeli $ k \leq \frac{n}{2} $, to każdy punkt danego zbioru można połączyć z co najmniej $ k $ innymi punktami zbioru w taki sposób, że wśród poprowadzonych odcinków nie ma trzech boków tego samego trójkąta.
2. Jeżeli $ k > \frac{n}{2} $ i każdy punkt danego zbioru jest połączony z $ k $ innymi punktami zbioru, to wśród poprowadzonych odcinków są trzy boki tego samego trójkąta.

XIX OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie leży $ n $ punktów ($ n \geq 4 $), z których każde cztery są wierzchołkami czworokąta wypukłego. Dowieść, że wszystkie te punkty są wierzchołkami wielokąta wypukłego.

XIX OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba naturalna $ n>2 $. Podać taki zbiór $ n $ liczb naturalnych $ a_1, a_2, \ldots, a_n $, żeby w zbiorze sum

\[<br />
a_i + a_j \quad (i = 1,2, \ldots,n, \quad j= 1,2, \ldots,n, \; i\neq j)<br />
\]

było możliwie najmniej liczb różnych oraz taki zbiór $ n $ liczb naturalnych $ b_1, b_2, \ldots, b_n $, żeby w zbiorze sum

\[<br />
b_i + b_j \quad (i = 1,2, \ldots,n, \quad j= 1,2, \ldots,n, \; i\neq j)<br />
\]

było możliwie najwięcej liczb różnych.

XIX OM - III - Zadanie 3

W czworościanie $ ABCD $ krawędzie $ AD $, $ BD $, $ CD $ są równe. Na płaszczyźnie $ ABC $ obrano punkty niewspółliniowe $ A_1, B_1, C_1 $ Proste $ DA_1, DB_1, DC_1 $ przecinają powierzchnię kuli opisanej na czworościanie odpowiednio w punktach $ A_2, B_2, C_2 $, różnych od punktu $ D $. Udowodnić, że punkty $ A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2 $ leżą na powierzchni pewnej kuli.

XIX OM - III - Zadanie 1

Jaka jest największa liczba obszarów, na które można podzielić płaszczyznę prowadząc $ n $ par prostych równoległych?

XIX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie obrano $ n \geq 3 $ punktów nie leżących na jednej prostej. Prowadząc proste przez każde dwa z tych punktów otrzymano $ k $ prostych. Dowieść, że $ k \geq n $.

XIX OM - II - Zadanie 5

Czworościany $ ABCD $ i $ A_1B_1C_1D_1 $ są tak położone, że środki odcinków $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $, $ DD_1 $ są odpowiednio środkami ciężkości trójkątów $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $ i $ ABC $. W jakim stosunku są objętości tych czworościanów?

XIX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a, b, c $, są długościami boków trójkąta, a suma liczb $ x, y, z $ jest równa zeru, to

\[<br />
(1) \qquad a^2yz + b^2zx + c^2xy \leq 0.<br />
\]

XIX OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli przy okrągłym stole siedzi co najmniej 5 osób, to można je tak przesadzić, że każda osoba będzie miała obu sąsiadów innych niż poprzednio.

Subskrybuje zawartość