1965-1966

XVII OM - III - Zadanie 6

Na płaszczyźnie leży 6 punktów. Dowieść, że stosunek najdłuższego spośród odcinków, łączących te punkty parami, do najkrótszego z tych odcinków nie jest mniejszy od $ \sqrt{3} $.

XVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest sześciokąt wypukły $ ABCDEF $, w którym każda z przekątnych $ AD, BE, CF $ dzieli sześciokąt na dwie części o równych polach. Dowieść, że te trzy przekątne przechodzą przez jeden punkt.

XVII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby nieujemne $ x_1, x_2,\ldots,x_n $ ($ n $ - dowolna liczba naturalna) spełniają nierówność
$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leq \frac{1}{2} $, to

\[<br />
(1 - x_1)(1 - x_2)\ldots (1-x_n) \geq \frac{1}{2}<br />
\]

XVII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić, że suma kwadratów pól prostokątnych rzutów ścian prostopadłościanu na jedną płaszczyznę nie zależy od położenia tej płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy prostopadłościan jest sześcianem.

XVII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że gdy $ k, m, n $, są dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi, to wielomian

\[<br />
P(x) = x^{3k+2} + x^{3m+1} + x^{3n}<br />
\]

jest podzielny przez wielomian $ x^2 + x + 1 $.

XVII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że suma kwadratów prostokątnych rzutów boków trójkąta na prostą $ p $ płaszczyzny tego trójkąta wtedy i tylko wtedy nie zależy od położenia prostej $ p $, gdy trójkąt jest równoboczny.

XVII OM - II - Zadanie 5

Każdy z boków $ BC, CA, AB $ trójkąta $ ABC $ podzielono na trzy równe części i na środkowych odcinkach tych boków jako na podstawach zbudowano na zewnątrz trójkąta $ ABC $ trójkąty równoboczne, których trzecie wierzchołki oznaczono odpowiednio literami $ A', B', C' $ Prócz tego wyznaczono punkty $ A'', B'', C'' $ symetryczne odpowiednio do $ A', B', C' $ względem prostych $ BC, CA, AB $. Dowieść, że trójkąty $ A'B'C' $ i $ A''B''C'' $ są równoboczne i mają ten sam środek ciężkości, co trójkąt $ ABC $.

XVII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a $ i $ b $ spełniają równanie $ a^2+a = 3b^2 $, to liczba $ a+1 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

XVII OM - II - Zadanie 3

Na płaszczyźnie obrano 6 punktów, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej i wykreślono wszystkie odcinki łączące parami te punkty. Niektóre z odcinków wykreślono przy tym kolorem czerwonym, a inne niebieskim. Dowieść, że któreś trzy z danych punktów są wierzchołkami trójkąta o bokach jednego koloru.

Subskrybuje zawartość