1964-1965

XVI OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ dzielą odpowiednio boki $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ w stosunkach $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Obliczyć stosunek pól trójkątów $ A_1B_1C_1 $ i $ ABC $.

XVI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby całkowite $ a $ i $ b $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad  2a^2 + a = 3b^2 + b,<br />
\]

to liczby $ a - b $ i $ 2a + 2b + 1 $ są kwadratami liczb całkowitych.

XVI OM - III - Zadanie 3

Na okręgu obrano $ n > 2 $ punktów i każdy z nich połączono odcinkiem z każdym innym. Czy można wykreślić wszystkie te odcinki jednym ciągiem, tzn. tak, żeby koniec pierwszego odcinka był początkiem drugiego, koniec drugiego - początkiem trzeciego itd., i żeby przy tym koniec ostatniego odcinka był początkiem pierwszego?

XVI OM - III - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli liczby $ x_1 $ i $ x_2 $ są pierwiastkami równania
$ x^2 + px - 1 = 0 $, gdzie $ p $ jest liczbą nieparzystą, to dla każdego naturalnego $ n $ liczby $ x_1^n + x_2^n $ i $ x_1^{n+1} + x_2^{n+1} $ są całkowite i względnie pierwsze.

XVI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić twierdzenie: długości $ a $, $ b $, $ c $ boków trójkąta i miary łukowe $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ przeciwległych jego kątów spełniają nierówności

\[<br />
(I) \qquad \frac{\pi}{3}\leq \frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c}<\frac{\pi}{2}.<br />
\]

XVI OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że nie istnieje wielościan, którego każdy przekrój płaski jest trójkątem.

XVI OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od 5 liczbę kwadratów, ale nie można go podzielić na 5 kwadratów.

XVI OM - II - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie takie liczby pierwsze $ p $, że $ 4p^2 +1 $ i $ 6p^2 + 1 $ ą również liczbami pierwszymi.

Subskrybuje zawartość