1963-1964

XV OM - III - Zadanie 6

Dany jest ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły $ ABCD $ o prostopadłych przekątnych $ AC $ i $ BD $, a rzutem prostokątnym wierzchołka 8 na podstawę jest punkt 0 przecięcia przekątnych podstawy. Udowodnić, że rzuty prostokątne punktu O na ściany boczne ostrosłupa leżą na okręgu.

XV OM - III - Zadanie 5

Dany jest kąt ostry i okrąg położony wewnątrz tego kąta. Wyznaczyć na danym okręgu taki punkt $ M $, żeby suma odległości punktu $ M $ od ramion kąta była najmniejsza.

XV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli pierwiastki równania $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $, o współczynnikach rzeczywistych, są rzeczywiste, to pierwiastki równania $ 3x^2 + 2ax + b = 0 $ też są rzeczywiste.

XV OM - III - Zadanie 3

Dany jest czworościan $ ABCD $, którego krawędzie $ AB, BC, CD, DA $ są styczne do pewnej kuli: Dowieść, że punkty styczności leżą w jednej płaszczyźnie.

XV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że nierówność

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{3} \leq \frac{\tan 3\alpha}{\tan \alpha} \leq 3<br />
\]

nie jest prawdziwa dla żadnej wartości $ \alpha $.

XV OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że spośród pięciu dowolnych punktów płaszczyzny można wybrać takie trzy punkty, które nie są wierzchołkami trójkąta ostrokątnego.

XV OM - II - Zadanie 5

Dany jest kąt trójścienny o krawędziach $ SA $, $ SB $, $ SC $, którego wszystkie kąty płaskie są ostre, a kąt dwuścienny przy krawędzi $ SA $ jest prosty. Dowieść, że przekrój tego trójścianu dowolną płaszczyzną prostopadłą do którejkolwiek krawędzi, w punkcie różnym od wierzchołka $ S $, jest trójkątem prostokątnym.

XV OM - II - Zadanie 4

Znaleźć liczby rzeczywiste $ x, y, z $ spełniające układ równań

\[<br />
\begin{split}<br />
(z - x)(x - y) &= a \\<br />
(x - y)(y - z) &= b \\<br />
(y - z)(z - x) &= c<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ a, b, c $ są danymi liczbami rzeczywistymi.

XV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest $ 3 $.

Subskrybuje zawartość