1962-1963

XIV OM - III - Zadanie 6

Przez wierzchołek kąta trójściennego, w którym żadna krawędź nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, poprowadzono w płaszczyźnie każdej ściany prostą prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Dowieść, że otrzymane trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie.

XIV OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że wielomian stopnia piątego

\[<br />
P(x) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6<br />
\]

nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

XIV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n-1}.<br />
\]

XIV OM - III - Zadanie 3

Z danego trójkąta wyciąć prostokąt o największym polu.

XIV OM - III - Zadanie 2

W przestrzeni dane są cztery różne punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że trzy odcinki łączące środki odcinków $ AB $ i $ CD $, $ AC $ i $ BD $, $ AD $ i $ BC $ mają wspólny środek.

XIV OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dwie liczby naturalne, których cyframi są same jedynki, są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby ich cyfr są względnie pierwsze.

XIV OM - II - Zadanie 6

Z punktu $ S $ przestrzeni wychodzą $ 3 $ półproste: $ SA $, $ SB $ i $ SC $, z których żadna nie jest prostopadła do obu pozostałych. Przez każdą z tych półprostych poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny zawierającej dwie pozostałe półproste. Dowieść, że poprowadzone płaszczyzny przecinają się wzdłuż jednej prostej $ d $.

XIV OM - II - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych przy wierzchołkach $ A $ i $ B $. Dowieść, że rzuty prostokątne punktu $ C $ na te dwusieczne leżą na jednej prostej.

Subskrybuje zawartość