1960-1961

XII OM - III - Zadanie 6

Ktoś napisał sześć listów do sześciu osób i zaadresował do nich sześć kopert. Iloma sposobami można listy tak włożyć do kopert, żeby żaden list nie trafił do właściwej koperty?

XII OM - III - Zadanie 5

Cztery proste przecinające się w sześciu punktach tworzą cztery trójkąty. Dowieść, że okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny.

XII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli każdy bok trójkąta jest mniejszy niż $ 1 $, to jego pole jest mniejsze niż $ \frac{\sqrt{3}}{4} $.

XII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli przekrój czworościanu płaszczyzną jest równoległobokiem, to połowa jego obwodu zawiera się między długością najmniejszej a długością największej krawędzi tego czworościanu.

XII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że każda liczba naturalna, która nie jest całkowitą potęgą liczby $ 2 $, jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

XII OM - II - Zadanie 6

W płaszczyźnie trójkąta ostrokątnego $ ABC $ przesuwa się taśma o szerokości $ d < AB $ i brzegach prostopadłych do $ AB $. Przy jakim położeniu taśmy zakryje ona największą część trójkąta?

XII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $ spełniają nierówności

\[ (1) \qquad a + b + c> 0, \]
\[ (2) \qquad ab + bc + ca > 0, \]
\[ (3) \qquad abc > 0, \]

to $ a > 0 $, $ b > 0 $, $ c > 0 $.

XII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnych kątów $ x $, $ y $, $ z $ zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{split}<br />
&1 - \cos^2 x - \cos^2 y - \cos^2 z + 2 \cos x \cos y \cos z=\\<br />
&\qquad =4 \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{x+y-z}{2}<br />
  \sin \frac{x-y+z}{2} \sin\frac{-x-y+z}{2}.<br />
\end{split}<br />
\]
Subskrybuje zawartość