1958-1959

X OM - III - Zadanie 6

Dany jest trójkąt, w którym boki $ a $, $ b $, $ c $ tworzą postęp arytmetyczny, a kąty tworzą też postęp arytmetyczny. Znaleźć stosunki boków tego trójkąta.

X OM - III - Zadanie 5

W płaszczyźnie trójkąta $ ABC $ porusza się prosta, która przecina boki $ AC $ i $ BC $ w takich punktach $ D $ i $ E $, że $ AD = BE $. Znaleźć miejsce geometryczne środka $ M $ odcinka $ DE $.

X OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie kwadratowe

\[<br />
(1) \qquad ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to co najmniej jedna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest parzysta.

X OM - III - Zadanie 3

Dany jest ostrosłup o podstawie kwadratowej $ ABCD $ i o wierzchołku $ S $. Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $ S $ i która przechodzi przez wszystkie wierzchołki podstawy.

X OM - III - Zadanie 2

W trójkącie równobocznym $ ABC $ obrano punkt $ O $ i opuszczono prostopadle $ OM $, $ ON $, $ OP $ odpowiednio na boki $ BC $, $ CA $, $ AB $. Dowieść, że suma odcinków $ AP $, $ BM $, $ CN $ nie zależy od położenia punktu $ O $.

X OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla dowolnych liczb $ a $ i $ b $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq<br />
\frac{a^6+b^6}{2}.<br />
\]

X OM - II - Zadanie 6

Z punktu $ M $ powierzchni kuli poprowadzono trzy wzajemnie prostopadłe cięciwy kuli $ MA $, $ MB $, $ MC $. Dowieść, że odcinek łączący punkt $ M $ ze środkiem kuli przecina płaszczyznę trójkąta $ ABC $ w środku ciężkości tego trójkąta.

X OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie, umieszczono $ n \geq 3 $ odcinków w ten sposób, że każde $ 3 $ z nich mają punkt wspólny. Dowieść, że istnieje punkt wspólny wszystkich odcinków.

X OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg liczb $ 13, 25, 43, \ldots $ którego $ n $-ty wyraz jest określony wzorem

\[<br />
a_n =3(n^2 + n) + 7.<br />
\]

Dowieść, że ciąg ten ma następujące własności:

1° Wśród każdych pięciu kolejnych wyrazów ciągu dokładnie jeden jest podzielny przez $ 5 $,

2° Żaden wyraz ciągu nie jest sześcianem liczby całkowitej.

Subskrybuje zawartość