1957-1958

IX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów opisanych na danym kole najmniejszy obwód ma kwadrat.

IX OM - III - Zadanie 5

Udowodnić twierdzenie: W czworościanie płaszczyzna dwusieczna każdego kąta dwuściennego dzieli krawędź przeciwległą na odcinki proporcjonalne do pól ścian czworościanu tworzących ten kąt dwuścienny.

IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ k $ jest liczbą naturalną, to

\[<br />
(1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) =<br />
1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną zależną od $ k $; wyznaczyć $ m $.

IX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, to

\[<br />
\cos \frac{2\pi}{n} + \cos \frac{4\pi}{n} + \cos \frac{6\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{2n \pi}{n} = 0.<br />
\]

IX OM - III - Zadanie 2

Każdy bok czworokąta wypukłego $ ABCD $ podzielono na trzy równe części; przez te punkty podziału boków $ AB $ i $ AD $, które leżą bliżej wierzchołka $ A $, poprowadzono prostą i analogicznie postąpiono przy wierzchołkach $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że środek ciężkości czworokąta utworzonego przez narysowane proste pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $ ABCD $.

IX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby naturalnej, jest podzielny przez $ 504 $.

IX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie dane są dwa okręgi $ C_1 $ i $ C_2 $ oraz prosta $ m $. Znaleźć na prostej $ m $ taki punkt, z którego można do okręgów $ C_1 $ i $ C_2 $ poprowadzić styczne jednakowo nachylone do prostej $ m $.

IX OM - II - Zadanie 5

Na zewnątrz trójkąta $ ABC $ zbudowano trójkąty równoboczne $ BMC $, $ CNA $ i $ APB $. Dowieść, że środki $ S $, $ T $, $ U $ tych trójkątów tworzą trójkąt równoboczny.

IX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli

\[<br />
(1) \qquad   (a + b + c)^2 = 3 (ab + bc + ac - x^2 - y^2 - z^2),<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ x $, $ y $, $ z $ oznaczają liczby rzeczywiste, to $ a = b = c $ oraz $ x = y = z = 0 $.

IX OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli wielomian $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ o współczynnikach całkowitych przybiera dla $ x = 0 $ i $ x = 1 $ wartości nieparzyste, to równanie $ f(x) = 0 $ nie ma pierwiastków całkowitych.

Subskrybuje zawartość