1956-1957

VIII OM - III - Zadanie 6

Dany jest sześcian o podstawie $ ABCD $, przy czym $ AB = a $ cm. Obliczyć odległość prostej $ BC $ od prostej przechodzącej przez punkt $ A $ i przez środek $ S $ ściany przeciwległej do podstawy.

VIII OM - III - Zadanie 5

Dana jest prosta $ m $ i odcinek $ AB $ do niej równoległy. Podzielić odcinek $ AB $ na trzy równe części przy użyciu samej linijki, tzn. rysując tylko proste.

VIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ ax^2 + bx + c $ przybiera wartość całkowitą dla każdej całkowitej wartości zmiennej $ x $, to $ 2a $, $ a + b $, $ c $ są liczbami całkowitymi i na odwrót.

VIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że między bokami $ a $, $ b $, $ c $ i kątami przeciwległymi $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta zachodzi związek

\[<br />
(1) \qquad a^2 \cos^2 A = b^2 \cos^2 B + c^2 \cos^2 C + 2bc \cos B \cos C \cos 2A.<br />
\]

VIII OM - III - Zadanie 1

Przez środek $ S $ odcinka $ MN $ o końcach leżących na ramionach trójkąta równoramiennego poprowadzono prostą równoległą do podstawy trójkąta przecinającą jego ramiona w punktach $ K $ i $ L $. Dowieść, że rzut prostokątny odcinka $ MN $ na podstawę trójkąta jest równy odcinkowi $ KL $.

VIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli czworokąt wypukły ma tę własność, że istnieje okrąg styczny do jego boków (tzn. okrąg wpisany), a także okrąg styczny do przedłużeń jego boków (okrąg dopisany), to przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

VIII OM - II - Zadanie 5

Dany jest odcinek $ AB $ i prosta $ m $ równoległa do tego odcinka. Znaleźć środek odcinka $ AB $ używając samej linijki, tzn. rysując tylko linie proste.

VIII OM - II - Zadanie 3

Dany jest sześcian o krawędzi $ AB = a $ cm. Punkt $ M $ odcinka $ AB $ jest odległy od przekątnej sześcianu, skośnej względem $ AB $, o $ k $ cm. Znaleźć odległość punktu $ M $ od środka $ S $ odcinka $ AB $.

Subskrybuje zawartość