1955-1956

VII OM - III - Zadanie 6

Dana jest kula o promieniu $ R $ i płaszczyzna $ \alpha $ nie mająca z tą kulą punktów wspólnych. Po płaszczyźnie $ \alpha $ porusza się punkt $ S $, który jest wierzchołkiem stożka stycznego do kuli wzdłuż okręgu o środku $ C $. Znaleźć miejsce geometryczne punktu $ C $.

VII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy wielokąt o obwodzie równym $ 2a $ można nakryć krążkiem o średnicy równej $ a $.

VII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad a^2 + b^2 = c^2,<br />
\]

to:

1° co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 3 $,

2° co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 4 $,

3° co najmniej jedna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest podzielna przez $ 5 $.

VII OM - III - Zadanie 3

Na prostej dane są trzy różne punkty $ M $, $ D $, $ H $. Zbudować trójkąt prostokątny, dla którego $ M $ jest środkiem przeciwprostokątnej, $ D $ - punktem przecięcia dwusiecznej kąta prostego z przeciwprostokątną, a $ H $ - spodkiem wysokości na przeciwprostokątną.

VII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}<br />
\]

oraz $ n $ jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą, to

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} =<br />
\frac{1}{a^n + b^n + c^n}<br />
\]

VII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe przecinają się w jednym punkcie, to

\[<br />
(1) \qquad AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC<br />
\]

i że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

VII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że liczby $ A $, $ B $, $ C $ określone wzorami

\[<br />
A = \tg \beta \tg \gamma + 5,\<br />
B = \tg \gamma \tg \alpha + 5,\<br />
C = \tg \alpha \tg \beta + 5,<br />
\]

gdzie $ \alpha>0 $, $ \beta > 0 $, $ \gamma > 0 $ i $ \alpha + \beta + \gamma = 90^\circ $, spełniają nierówność

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} < 4 \sqrt{3}.<br />
\]

VII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że równanie $ 2x^2 - 215y^2 = 1 $ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

VII OM - II - Zadanie 3

Jednorodna pozioma płyta o ciężarze $ Q $ kG mająca kształt koła jest podparta w punktach $ A $, $ B $, $ C $ leżących na obwodzie płyty, przy czym $ AC = BC $ i $ ACB = 2\alpha $. Jaki ciężar $ x $ kG należy umieścić na płycie w drugim końcu $ D $ średnicy poprowadzonej z punktu $ C $, aby nacisk płyty na podporę w$ C $G był równy zeru?

Subskrybuje zawartość