1954-1955

VI OM - III - Zadanie 6

Przez punkty $ A $ i $ B $ poprowadzono dwie proste skośne $ m $ i $ n $ prostopadłe do prostej $ AB $. Na prostej $ m $ obrano punkt $ C $ (różny od $ A $), a na prostej $ n $ punkt $ D $ (różny od $ B $). Mając dane długości odcinków $ AB = d $ i $ CD = l $ oraz kąt $ \varphi $, jaki tworzą proste skośne $ m $ i $ n $, obliczyć promień powierzchni kuli przechodzącej przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.

VI OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dana jest prosta $ m $ oraz punkty $ A $ i $ B $ leżące po przeciwnych stronach prostej $ m $. Znaleźć na prostej $ m $ taki punkt $ M $, żeby różnica odległości tego punktu od punktów $ A $ i $ B $ była jak największa.

VI OM - III - Zadanie 3

W okrąg wpisano trójkąt równoboczny $ ABC $; dowieść, że jeżeli $ M $ jest dowolnym punktem okręgu, to jedna z odległości $ MA $, $ MB $, $ MC $ jest równa sumie dwóch pozostałych.

VI OM - III - Zadanie 1

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $ i $ c $, żeby równanie

\[<br />
(1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

miało trzy różne pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp geometryczny?

VI OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że spośród siedmiu liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $ 30 $ jedna i tylko jedna jest podzielna przez $ 7 $.

VI OM - II - Zadanie 6

Wewnątrz kąta trójściennego $ OABC $, którego kąty płaskie $ AOB $, $ BOC $, $ COA $ są równe, obrano punkt $ S $ równo odległy od ścian tego kąta. Przez punkt $ S $ poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędzie $ OA $, $ OB $, $ OC $ odpowiednio w punktach $ M $, $ N $, $ P $. Dowieść, że suma

\[<br />
\frac{1}{OM} + \frac{1}{ON} + \frac{1}{OP}<br />
\]

ma wartość stałą, tzn. niezależną od położenia płaszczyzny $ MNP $.

VI OM - II - Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ ABC $. Znaleźć prostokąt o najmniejszym polu zawierający ten trójkąt.

VI OM - II - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ dany jest punkt $ P $; znaleźć na obwodzie tego trójkąta taki punkt $ Q $, żeby łamana $ APQ $ dzieliła trójkąt na dwie części o równych polach.

VI OM - II - Zadanie 3

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, żeby można było zbudować trójkąt o bokach równych wysokości, podstawie i jednemu z pozostałych boków tego trójkąta równoramiennego?

Subskrybuje zawartość