1953-1954

V OM - III - Zadanie 6

Wewnątrz obręczy o promieniu $ 2r $ toczy się po tej obręczy bez poślizgu krążek o promieniu $ r $. Jaką linię zakreśla punkt obrany dowolnie na brzegu krążka?

V OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ krawędzie przeciwległe są równe, tj. $ AB = CD $, $ AC = BD $, $ AD = BC $, to proste przechodzące przez środki krawędzi przeciwległych są wzajemnie prostopadle i są osiami symetrii czworościanu.

V OM - III - Zadanie 4

Znaleźć wartości $ x $ spełniające nierówność

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{x} - \sqrt{x- a} > 2,<br />
\]

gdzie $ a $ jest daną liczbą dodatnią.

V OM - III - Zadanie 3

Jednorodną tarczę kołową zawieszono w położeniu poziomym na sznurze uczepionym w jej środku $ O $. W trzech różnych punktach $ A $, $ B $, $ C $ brzegu tarczy położono ciężary $ p_1 $, $ p_2 $, $ p_3 $, po czym tarcza pozostała w równowadze. Obliczyć kąty $ AOB $, $ BOC $ i $ COA $.

V OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że w trapezie równoramiennym opisanym na kole odcinki łączące punkty styczności boków przeciwległych z kołem przechodzą przez punkt przecięcia przekątnych.

V OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ są kątami zawartymi między $ 0^\circ $ i $ 180^\circ $, a $ n $ jest dowolną liczbą naturalną większą niż $ 1 $, to

\[<br />
(1) \qquad<br />
\sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n.<br />
\]

V OM - II - Zadanie 5

Dane są punkty $ A $, $ B $, $ C $ i $ D $ nie leżące w jednej płaszczyźnie. Przeprowadzić przez punkt $ A $ taką płaszczyznę, żeby rzut prostokątny czworokąta $ ABCD $ na tę płaszczyznę był równołegłobokiem.

V OM - II - Zadanie 4

Podać warunki przy których równanie

\[<br />
\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} = \sqrt{x - c }<br />
\]

ma pierwiastki zakładając, że liczby $ a $, $ b $, $ c $ są parami różne.

V OM - II - Zadanie 3

Dane są: punkt $ A $, prosta $ p $ i okrąg $ k $. Wykreślić trójkąt $ ABC $ o kątach $ A = 60^\circ $, $ B = 90^\circ $, którego wierzchołek $ B $ leży na prostej $ p $, a wierzchołek $ C $ - na okręgu $ k $.

Subskrybuje zawartość