1952-1953

IV OM - III - Zadanie 6

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $ \alpha $, $ \beta $ i $ \gamma $, gdy spełniona jest równość

\[<br />
(1) \qquad \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma?<br />
\]

IV OM - III - Zadanie 5

Z punktu $ O $ wyrusza po prostoliniowej szosie samochód i jedzie ze stałą prędkością $ v $. Do samochodu tego pragnie podać list rowerzysta, który znajduje się w odległości $ a $ od punktu $ O $ i w odległości $ b $ od szosy. Z jaką minimalną prędkością powinien jechać rowerzysta, aby osiągnąć swój cel?

IV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1},<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną.

IV OM - III - Zadanie 3

Przez każdy wierzchołek czworościanu o danej objętości $ V $ poprowadzono płaszczyznę równoległą do przeciwległej ściany czworościanu. Obliczyć objętość czworościanu utworzonego przez te płaszczyzny.

IV OM - III - Zadanie 2

Znaleźć miejsce geometryczne środka prostokąta, którego wierzchołki leżą na obwodzie danego trójkąta.

IV OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy równanie

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c} = 0,<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $ oznaczają dane liczby rzeczywiste, ma pierwiastki rzeczywiste.

IV OM - II - Zadanie 6

Dany jest okrąg i dwie styczne do tego okręgu. Poprowadzić trzecią styczną do okręgu w taki sposób, żeby jej odcinek zawarty między danymi stycznymi miał daną długość $ d $.

IV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć objętość $ V $ czworościanu $ ABCD $ mając daną długość $ d $ krawędzi $ AB $ oraz pole $ S $ rzutu czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do prostej $ AB $.

IV OM - II - Zadanie 3

Trójkątny kawałek blachy waży $ 900 $ g. Dowieść, że rozcinając tę blachę po prostej przechodzącej przez środek ciężkości trójkąta nie można odciąć kawałka ważącego mniej niż $ 400 $ g.

Subskrybuje zawartość