1951-1952

III OM - III - Zadanie 6

W okrągłej wieży o wewnętrznej średnicy $ 2 $ m znajdują się schody kręcone o wysokości $ 6 $ m. Wysokość każdego stopnia schodów wynosi $ 0,15 $ m. W rzucie poziomym stopnie tworzą przylegające do siebie wycinki kołowe o kącie $ 18^\circ $. Węższe końce stopni umocowane są w okrągłym filarze o średnicy $ 0,64 $ m, którego oś pokrywa się z osią wieży. Obliczyć największą długość pręta prostoliniowego, który można przenieść tymi schodami z dołu do góry (nie brać pod uwagę grubości pręta ani grubości płyt, z których zrobione są schody).

III OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że żadna z cyfr $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 9 $ nie może być ostatnią cyfrą liczby

\[<br />
1 + 2 + 3 + \ldots + n,<br />
\]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

III OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli kąty $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad \cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1,<br />
\]

to jeden z tych kątów równa się $ 120^\circ $.

III OM - III - Zadanie 3

Zbudować czworokąt $ ABCD $ mając dane długości boków $ AB $ i $ CD $ oraz kąty czworokąta.

III OM - III - Zadanie 2

Na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio punkty $ M $, $ N $, $ P $ w taki sposób, że

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{BM}{MC} = \frac{CN}{NA} = \frac{AP}{PB} = k,<br />
\]

gdzie $ k $ oznacza liczbę daną większą od $ 1 $; następnie poprowadzono odcinki $ AM $, $ BN $, $ CP $. Mając dane pole $ S $ trójkąta $ ABC $ obliczyć pole trójkąta ograniczonego prostymi $ AM $, $ BN $ i $ CP $.

III OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że płaszczyzna, która przechodzi: a) przez środki dwóch krawędzi przeciwległych czworościanu i b) przez środek jednej z pozostałych krawędzi czworościanu, dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy odrzucimy założenie b)?

III OM - II - Zadanie 5

Pionowy maszt znajdujący się na wieży widać pod największym kątem z takiego punktu ziemi, którego odległość od osi masztu wynosi $ a $; kąt ten równa się danemu kątowi $ \alpha $. Obliczyć wysokość wieży i wysokość masztu.

III OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} = \frac{1}{ab + bc + ca},<br />
\]

to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi.

III OM - II - Zadanie 3

Czy prawdziwe są twierdzenia:

a) jeżeli cztery wierzchołki prostokąta leżą na czterech bokach rombu, to boki prostokąta są równoległe do przekątnych rombu;

b) jeżeli cztery wierzchołki kwadratu leżą na czterech bokach rombu, który nie jest kwadratem, to boki kwadratu są równoległe do przekątnych rombu.

III OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są bokami takiego czworokąta, na którym można opisać koło, i w który można wpisać kolo, to pole $ S $ czworokąta wyraża się wzorem

\[<br />
S = \sqrt{abcd}.<br />
\]
Subskrybuje zawartość