2008-2009, 2007-2008, 2006-2007, 2005-2006, 2004-2005, 2003-2004, 2002-2003, 2001-2002, 2000-2001, 1999-2000, 1998-1999, 1997-1998, 1996-1997, 1995-1996, 1994-1995, 1993-1994, 1992-1993, 1991-1992, 1990-1991, 1989-1990, 1988-1989, 1987-1988, 1986-1987, 1985-1986, 1984-1985, 1983-1984, 1982-1983, 1981-1982, 1980-1981, 1979-1980, 1978-1979, 1977-1978, 1976-1977, 1975-1976, 1974-1975, 1973-1974, 1972-1973, 1971-1972, 1970-1971, 1969-1970, 1968-1969, 1967-1968, 1966-1967, 1965-1966, 1964-1965, 1963-1964, 1962-1963, 1961-1962, 1960-1961, 1959-1960, 1958-1959, 1957-1958, 1956-1957, 1955-1956, 1954-1955, 1953-1954, 1952-1953, 1951-1952, 1950-1951, 1949-1950, 2000-2009, 1990-1999, 1980-1989, 1970-1979, 1960-1969, 1949-1959

II OM - III - Zadanie 6

Dany jest okrąg oraz odcinek $ MN $. Znaleźć na okręgu taki punkt $ C $, żeby trójkąt $ ABC $, gdzie $ A $ i $ B $ są punktami przecięcia prostych $ MC $ i $ NC $ z okręgiem, był podobny do trójkąta $ MNC $.

II OM - III - Zadanie 5

W okrąg wpisano czworokąt $ ABCD $. Proste $ AB $ i $ CD $ przecinają się w punkcie $ E $, a proste $ AD $ i $ BC $ - w punkcie $ F $. Dwusieczna kąta $ AEC $ przecina bok $ BC $ w punkcie $ M $ i bok $ AD $ w punkcie $ N $; a dwusieczna kąta $ BFD $ przecina bok $ AB $ w punkcie $ P $ i bok $ CD $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że czworokąt $ MPNQ $ jest rombem.

II OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć współczynniki równania

\[<br />
(1) \qquad x^3 - ax^2 + bx - c = 0<br />
\]

w taki sposób, żeby pierwiastkami tego równania były liczby $ a $, $ b $, $ c $.

II OM - III - Zadanie 2

Jakie cyfry należy umieścić zamiast zer na trzecim i piątym miejscu w liczbie $ 3000003 $, aby otrzymać liczbę podzielną przez $ 13 $?

II OM - III - Zadanie 1

Belka o długości $ a $ została zawieszona poziomo swymi końcami na dwóch linach równoległych równych $ b $. Skręcamy belkę o kąt $ \varphi $ dokoła osi pionowej przechodzącej przez środek belki. O ile belka się podniesie?

II OM - II - Zadanie 6

Dane są punkty $ A $ i $ B $ oraz okrąg $ k $. Wykreślić okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ i wyznaczający w przecięciu z okręgiem $ k $ wspólną cięciwę o danej długości $ d $.

II OM - II - Zadanie 5

Wykazać, że jeżeli między bokami i przeciwległymi kątami $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABC $ zachodzi związek

\[<br />
(1) \qquad (a^2 + b^2) \sin (A - B) = (a^2 - b^2) \sin (A + B),<br />
\]

to taki trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.

II OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równania

\[<br />
(1) \qquad<br />
x^2 + mx + n = 0<br />
\textrm{ i }<br />
x^2 + px + q = 0<br />
\]

mają wspólny pierwiastek, to między współczynnikami tych równań zachodzi związek

\[<br />
(2) \qquad (n - q)^2 - (m - p) (np - mq) = 0.<br />
\]

II OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że równanie

\[<br />
\frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} = 1,<br />
\]

gdzie $ m \ne 0 $, $ n \ne 0 $, $ a \ne b $, ma pierwiastki rzeczywiste ($ m $, $ n $, $ a $, $ b $ oznaczają liczby rzeczywiste).

Subskrybuje zawartość