2000-2009

LI OM - III - Zadanie 6

Stopień wielomianu $ P(x) $ o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego $ x $

\[<br />
P (x^2 - 1)= (P (x))^2 - 1.<br />
\]

Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzi równość

\[<br />
P(x) = x.<br />
\]

LI OM - III - Zadanie 5

Dla danej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ znaleźć najmniejszą liczbę $ k $ o następującej własności. Z dowolnego $ k $-elementowego zbioru pól szachownicy $ n \times n $, można wybrać taki niepusty podzbiór, że liczba pól tego podzbioru w każdym wierszu i w każdej kolumnie szachownicy jest parzysta.

LI OM - III - Zadanie 4

W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku $ S $ i podstawie $ A_1A_2\ldots A_n $ każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $ 60^\circ $. Dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 3 $ rozstrzygnąć, czy można wybrać takie punkty $ B_2,B_3,\ldots,B_n $ leżące odpowiednio na krawędziach $ A_2S, A_3S,\ldots,A_nS $, że

\[<br />
A_1B_2 + B_2B_3 + B_3B_4 +\ldots + B_{n-1}B_n + B_nA_1 < 2A_1S.<br />
\]

LI OM - III - Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ ABC $, w którym $ AC = BC $. Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $, przy czym $ \measuredangle PAB = \measuredangle PBC $. Punkt $ M $ jest środkiem boku $ AB $. Dowieść, że

\[<br />
\measuredangle APM + \measuredangle BPC =180^\circ.<br />
\]

LI OM - III - Zadanie 1

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 2 $.

Wyznaczyć liczbę rozwiązań $ (x_1,x_2,\ldots,x_n) $ układu równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{c}<br />
x_{2}+x_{1}^{2}=4x_{1}\\<br />
x_{3}+x_{2}^{2}=4x_{2}\\<br />
x_{4}+x_{3}^{2}=4x_{3}\\<br />
\vdots\\<br />
 x_{n}+x_{n-1}^{2}=4x_{n-1}\\<br />
x_{1}+x_{n}^{2}=4x_{n}<br />
\end{array}\right.<br />
\]

w liczbach rzeczywistych nieujemnych.

LI OM - II - Zadanie 6

Wielomian $ w(x) $ stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych $ x $ wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian $ w(x) $ jest kwadratem pewnego wielomianu.

LI OM - II - Zadanie 5

Niech $ \mathbb{N} $ oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. Rozstrzygnąć, czy istnieje taka funkcja $ f: \mathbb{N}\to \mathbb{N} $, że dla każdego $ n\in \mathbb{N} $ zachodzi równość $ f(f(n)) =2n $.

LI OM - II - Zadanie 4

Punkt $ I $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $, w którym $ AB \neq AC $. Proste $ BI $ i $ CI $ przecinają boki $ AC $ i $ AB $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Wyznaczyć wszystkie miary kąta $ BAC $, dla których może zachodzić równość $ DI = EI $.

LI OM - II - Zadanie 3

Na polach szachownicy $ n \times n $ rozmieszczono $ n^2 $ różnych liczb całkowitych, po jednej na każdym polu. W każdej kolumnie pole z największą liczbą pomalowano na czerwono. Zbiór $ n $ pól szachownicy nazwiemy dopuszczalnym, jeżeli żadne dwa z tych pól nie znajdują się w tym samym wierszu, ani w tej samej kolumnie. Spośród wszystkich zbiorów dopuszczalnych wybrano zbiór, dla którego suma liczb umieszczonych na jego polach jest największa.

Wykazać, że w tak wybranym zbiorze jest czerwone pole.

LI OM - II - Zadanie 2

Dwusieczna kąta $ BAC $ trójkąta $ ABC $ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $ D $ różnym od $ A $. Punkty $ K $ i $ L $ są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $ B $ i $ C $ na prostą $ AD $. Dowieść, że

\[<br />
AD \geq BK + CL.<br />
\]
Subskrybuje zawartość