1990-1999

XLI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ większej od 2 liczba

\[<br />
\sum_{k=0}^{[n/3]} \binom{n}{3k}<br />
\]

jest podzielna przez 3.

XLI OM - III - Zadanie 5

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $ (a_n) $, że $ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{a_n} = 0 $.

Udowodnić, że istnieje taka liczba $ k $, dla której między liczbami $ a_1 + a_2 + \ldots + a_k $ oraz $ a_1 + a_2 + \ldots + a_k + a_{k+1} $ znajduje się co najmniej 1990 kwadratów liczb naturalnych.

XLI OM - III - Zadanie 4

Wewnątrz kwadratu o boku długości 1 narysowano trójkąt, którego każdy bok ma długość nie mniejszą od 1. Dowieść, że środek kwadratu należy do trójkąta.

XLI OM - III - Zadanie 3

W pewnym turnieju uczestniczyło $ n $ zawodników. Każdy z nich rozegrał jedną partię z każdym innym zawodnikiem, nie było remisów. Dowieść, że albo można podzielić uczestników turnieju na takie dwie grupy $ A $ i $ B $, że każdy zawodnik z grupy $ A $ wygrał z każdym z grupy $ B $, albo można ustawić uczestników w ciąg $ u_1, u_2, \ldots , u_n $ tak, że $ u_1 $ wygrał z $ u_2 $, $ u_2 $ wygrał z $ u_3 $, ..., $ u_{n-1} $ wygrał z $ u_n $, $ u_n $ wygrał z $ u_1 $.

XLI OM - III - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od 2, a $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to

\[<br />
\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2 x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3 x_4} + \ldots + \frac{x_n^2}{x_n^2+x_1 x_2} \leq n-1.<br />
\]

XLI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $, $ y $ spełniona jest równość

\[<br />
(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2)<br />
\]

XLI OM - II - Zadanie 6

Dla dowolnego wielokąta wypukłego $ W $ o polu 1 oznaczmy przez $ f(W) $ pole wielokąta wypukłego, którego wierzchołkami są środki wszystkich boków wielokąta $ W $. Dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 3 $ wyznaczyć kres dolny i kres górny zbioru liczb $ f(W) $ gdy $ W $ przebiega zbiór wszystkich $ n $-kątów wypukłych o polu 1.

XLI OM - II - Zadanie 5

Danych jest $ n $ liczb naturalnych ($ n\geq 2 $), których suma równa jest ich iloczynowi. Wykazać, że ta wspólna wartość nie przekracza $ 2n $.

XLI OM - II - Zadanie 4

Dla każdej pary liczb naturalnych parzystych $ k $, $ m $ wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ x $ spełniające równanie

\[<br />
(\sin x)^k + (\cos x)^{-m} = (\cos x)^k + (\sin x)^{-m}.<br />
\]

XLI OM - II - Zadanie 3

W turnieju szachowym każdy zawodnik rozegrał z każdym co najwyżej jedną partię, przy czym liczba partii rozegranych przez każdego z zawodników jest nie mniejsza od ustalonej liczby naturalnej $ n $. Udowodnić, że można podzielić zawodników na dwie grupy $ A $ i $ B $ w taki sposób, by liczba partii rozegranych przez każdego gracza grupy $ A $ z graczami grupy $ B $ była nie mniejsza niż $ n/2 $ i jednocześnie liczba partii rozegranych przez każdego gracza grupy $ B $ z graczami grupy $ A $ była nie mniejsza niż $ n/2 $.

Subskrybuje zawartość