1980-1989

XXXI - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ prawdziwa jest nierówność

$<br /> x_1x_2x_3\ldots x_n \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^4}{4} + \frac{x_3^8}{8} + \ldots + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}<br />$

Uczniowie $A$ i $B$ grają według następujących reguł: uczeń $A$ obiera na płaszczyźnie wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości 1, następnie uczeń $B$ podaje liczbę $s_1$ , równą $1$ lub $-1$ ; potem uczeń $A$ obiera wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości $1$ , a z kolei uczeń $B$ podaje liczbę $s_2$ równą $1$ lub $-1$ itd. Wygrywa $B$ , jeśli dla pewnego $n$ wektor $\sum_{j=1}^n \varepsilon_j \overrightarrow{a_j}$ ma długość większą od ustalonej przed rozpoczęciem gry liczby $R$ . Udowodnić, że uczeń $B$ może doprowadzić do wygranej w nie więcej niż $R^2 + 1$ krokach niezależnie od postępowania partnera $A$ .

XXXI - I - Zadanie 12

Niech $D$ będzie obszarem na płaszczyźnie ograniczonym półprostą $\{(x,y) : x \geq 0, y = 0\}$ i parabolą o równaniu $y = x^2$ tzn. $D = \{(x,y) : x > 0, 0 < y < x^2\}$ . W obszarze $D$ porusza się bez tarcia kula bilardowa (traktujemy ją jako punkt materialny) odbijając się od brzegu obszaru $D$ zgodnie z regułą „kąt padania równa się kątowi odbicia". Udowodnić, że kula odbije się od brzegu obszaru D tylko skończoną liczbę razy.

Uwaga. Kula odbija się od paraboli w taki sposób, w jaki odbija się od stycznej do paraboli w tym punkcie.

XXXI - I - Zadanie 11

Udowodnić, że $\tan \frac{\pi}{7} \tan \frac{2\pi}{7} \frac{3\pi}{7} = \sqrt{7}$ .

XXXI - I - Zadanie 10

Płaszczyzną podzielono dwiema rodzinami prostych równoległych na przystające kwadraty. $S$ jest zbiorem złożonym z $n$ takich kwadratów. Udowodnić, że istnieje podzbiór zbioru $S$ , w którym liczba kwadratów jest nie mniejsza niż $\frac{n}{4}$ i żadne dwa kwadraty nie mają wspólnego wierzchołka.

XXXI - I - Zadanie 9

Dowieść, że liczba naturalna $n > 1$ dzieli liczbę $a^{(n-1)! + 1}$ - a dla każdego całkowitego $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest iloczynem różnych liczb pierwszych.

XXXI - I - Zadanie 8

Znaleźć wszystkie podzbiory $S$ zbioru liczb wymiernych spełniające następujące warunki.
1. Jeśli $a \in S$ , $b \in S$ , to $a + b \in S$ .
2. Jeśli $a$ jest liczbą wymierną różną od 0, to dokładnie jedna z liczb $a$ i $-a$ , należy do $S$ .

XXXI - I - Zadanie 7

Na sferze o promieniu długości 1 obrano 13 punktów. Dowieść, że wśród tych punktów istnieją takie dwa, których odległość jest mniejsza od $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .

XXXI - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla różnych liczb całkowitych $a, b, c$ i dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba

$<br /> \frac{a^n}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^n}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^n}{(c - a)(c - b)}<br />$

jest całkowita.

XXXI - I - Zadanie 5

Znany matematyk profesor Iks grywa ze swoim asystentem magistrem Igrekiem w następującą grę. Iks podaje Igrekowi skończony ciąg wektorów $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \ldots, \overrightarrow{a_n}$ ; wszystkie te wektory leżą w jednej płaszczyźnie i każdy ma długość 1. Igrek znając te wektory podaje ciąg znaków, tj. ciąg liczb $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ , $\varepsilon _j = 1$ lub $\varepsilon _j = -1$ ( $j = 1, 2, \ldots, n$ ). Następnie gracze rozpatrują ciąg wektorów $\varepsilon_1 \overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} + \ldots + \varepsilon_k \overrightarrow{a_k}$ ( $k = 1, 2, \ldots, n$ ). Wygrywa Iks,
jeśli długość choćby jednego z wektorów $s_1, s_2, \ldots, s_n$ jest większa lub równa 3, w przeciwnym razie wygrywa Igrek. Udowodnić, że Igrek zawsze może tak wybrać ciąg znaków, by wygrać.