Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

II OM - III - Zadanie 1

Belka o długości $ a $ została zawieszona poziomo swymi końcami na dwóch linach równoległych równych $ b $. Skręcamy belkę o kąt $ \varphi $ dokoła osi pionowej przechodzącej przez środek belki. O ile belka się podniesie?

II OM - II - Zadanie 6

Dane są punkty $ A $ i $ B $ oraz okrąg $ k $. Wykreślić okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ i wyznaczający w przecięciu z okręgiem $ k $ wspólną cięciwę o danej długości $ d $.

II OM - II - Zadanie 5

Wykazać, że jeżeli między bokami i przeciwległymi kątami $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABC $ zachodzi związek

\[<br /> (1) \qquad (a^2 + b^2) \sin (A - B) = (a^2 - b^2) \sin (A + B),<br /> \]

to taki trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.

II OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równania

\[<br /> (1) \qquad<br /> x^2 + mx + n = 0<br /> \textrm{ i }<br /> x^2 + px + q = 0<br /> \]

mają wspólny pierwiastek, to między współczynnikami tych równań zachodzi związek

\[<br /> (2) \qquad (n - q)^2 - (m - p) (np - mq) = 0.<br /> \]

II OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że równanie

\[<br /> \frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} = 1,<br /> \]

gdzie $ m \ne 0 $, $ n \ne 0 $, $ a \ne b $, ma pierwiastki rzeczywiste ($ m $, $ n $, $ a $, $ b $ oznaczają liczby rzeczywiste).

II OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ ABC $ na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ obrano odpowiednio punkty $ D $, $ E $, $ F $ w taki sposób, że

\[<br /> BD \colon DC = CE \colon EA = AF \colon FB = k,<br /> \]

gdzie $ k $ jest daną liczbą dodatnią. Mając dane pole $ S $ trójkąta $ ABC $ obliczyć pole trójkąta $ DEF $.

II OM - II - Zadanie 1

W trójkącie prostokątnym $ ABC $ z wierzchołka kąta prostego $ C $ poprowadzono wysokość $ CD $ i w każdy z trójkątów $ ABC $, $ ACD $ i $ BCD $ wpisano okrąg. Wykazać, że suma promieni tych okręgów równa się wysokości $ CD $.

II OM - I - Zadanie 11

W dany kwadrat wpisać taki kwadrat, którego jeden bok lub jego przedłużenie przechodzi przez dany punkt $ K $.

II OM - I - Zadanie 10

Na trójkącie $ ABC $ opisano okrąg. Znając promień $ R $ tego okręgu obliczyć promień okręgu przechodzącego przez środki trzech okręgów dopisanych (zawpisanych) trójkąta $ ABC $.

Subskrybuje zawartość