Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich

XVIII ZMPB - Zadanie 11

W trójkącie $ABC$ odcinki $AD$ , $BE$ i $CF$ są wysokościami. Punkty $P$ , $Q$ , $R$ i $S$ spełniają następujące warunki:

$P$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .
Długości odcinków $PQ$ , $QR$ i $RS$ są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .
Odcinek zorientowany $PQ$ ma ten sam kierunek i zwrot, co odcinek zorientowany $AD$ . Podobnie, odcinek $QR$ ma ten sam kierunek i zwrot, co $BE$ , zaś odcinek $RS$ ma ten sam kierunek i zwrot, co $CF$ .

Wykazać, że punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ .

Dana jest tablica $18\times 18$ , której każde pole może być białe albo czarne. Początkowo wszystkie pola są białe. Możemy wykonywać następującą operację: wybieramy kolumnę lub wiersz i zmieniamy kolory wszystkich pól w tej kolumnie lub wierszu. Czy wykonując wielokrotnie taką operację możemy otrzymać tablicę, w której będzie dokładnie 16 czarnych pól?

XVIII ZMPB - Zadanie 9

W pewnym stowarzyszeniu należy wybrać zarząd. Każdy członek wskazał 10 kandydatów do zarządu, ale będzie zadowolony, jeżeli przynajmniej jeden z nich znajdzie się w zarządzie. Dla dowolnych sześciu członków stowarzyszenia można utworzyć dwuosobowy zarząd, zadowalający wszystkich sześciu. Dowieść, że można wybrać 10-osobowy zarząd, zadowalający wszystkich członków stowarzyszenia.

XVIII ZMPB - Zadanie 8

Nazwijmy zbiór $A$ liczb całkowitych nieizolowanym, jeżeli dla każdego $a\in A$ przynajmniej jedna z liczb $a-1$ , $a+1$ także należy do $A$ . Udowodnić, że liczba pięcioelementowych nieizolowanych podzbiorów zbioru $\{1,2,\ldots,n\}$ wynosi $(n-4)^2$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 7

Potworek składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $1$ , jak pokazuje rysunek.

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n$ , dla których trójkąt równoboczny o boku $n$ można podzielić na potworki (obroty i odbicia potworków są dopuszczalne; potworki nie mogą na siebie zachodzić).

XVIII ZMPB - Zadanie 6

Fredek pisze liczby $1$ , $2$ , $\ldots$ , $n$ w pewnej kolejności, po czym sporządza listę wszystkich takich par $(i,j)$ , że $1\le i<j\le n$ oraz $i$ -ta liczba jest większa od $j$ -tej liczby w jego permutacji. Następnie Fredek wielokrotnie wykonuje następującą operację, dopóki jest możliwa: wybiera parę $(i,j)$ z bieżącej listy, zamienia miejscami liczbę $i$ -tą z liczbą $j$ -tą w bieżącej permutacji, i usuwa parę $(i,j)$ z listy. Wykazać, że Fredek może wybierać pary w takiej kolejności, że po zakończeniu procesu liczby w permutacji będą uporządkowane rosnąco.

XVIII ZMPB - Zadanie 5

Funkcja $f$ , określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$ , przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste różne od $1$ . Ponadto

$ f(xy)=f(x)f(-y)-f(x)+f(y) $

dla dowolnych $x,y\ne 0$ , oraz

$ f(f(x))={1\over f({1\over x})} $

dla każdego $x\not\in\{0,1\}$ . Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 4

Niech $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, i niech $S=a_1+a_2+\ldots+a_n$ . Udowodnić, że

$ \begin{split} (2S+n)(2S&+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge \\ &\ge 9\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2. \end{split} $

XVIII ZMPB - Zadanie 3

Niech $F$ , $G$ , $H$ będą takimi wielomianami stopnia co najwyżej $2n+1$ o współczynnikach rzeczywistych, że:

Dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ mamy

$ F(x)\le G(x)\le H(x). $
Istnieją takie różne liczby rzeczywiste $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , że

$ F(x_i)=H(x_i)\qquad\hbox{dla }i=1,2,\ldots,n. $
Istnieje liczba rzeczywista $x_0$ różna od $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , dla której

$ F(x_0)+H(x_0)=2G(x_0). $