2008-2009

III MEMO - Zadanie 2

Dane jest $n\geq3$ różnych kolorów. Niech $f(n)$ będzie największą liczbą całkowitą o następującej własności: Możliwe jest takie pokolorowanie wszystkich boków i przekątnych wielokąta wypukłego o $f(n)$ wierzchołkach, że

wykorzystane są co najmniej dwa różne kolory,
każde trzy wierzchołki wielokąta wyznaczają trójkąt o wszystkich bokach jednakowego koloru lub o wszystkich bokach różnego koloru.

Dowieść, że $f(n)\leq(n-1)^2$ oraz że równość zachodzi dla nieskończenie wielu wartości $n$ .

III MEMO - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R$ warunek

$ (1) \qquad f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)). $

Uwaga: $\mathbb{R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych.

L MOM - Zadanie 6

Liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ są parami różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, zaś $M$ jest zbiorem $n-1$ dodatnich liczb całkowitych, przy czym $M$ nie zawiera liczby $s=a_1+a_2+\dots+a_n$ . Konik polny skacze wzdłuż osi liczbowej w dodatnim jej kierunku. Zaczyna w punkcie 0 i wykonuje $n$ skoków, których długościami są liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ , wzięte w pewnej kolejności. Udowodnić, że kolejność tę można wybrać w taki sposób, by po żadnym ze skoków konik polny nie wylądował w punkcie należącym do zbioru $M$ .

L MOM - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ przekształcające zbiór dodatnich liczb całkowitych w zbiór dodatnich liczb całkowitych takie, że dla każdych dwóch dodatnich liczb całkowitych $a$ oraz $b$ istnieje niezdegenerowany trójkąt, którego boki mają długości

$ a,\quad f(b)\quad\text{oraz}\quad f(b+f(a)-1). $

(Trójkąt niezdegenerowany to taki, którego wierzchołki nie leżą na jednej prostej.)

L MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ABC$ zachodzi równość $AB=AC$ . Dwusieczne kątów $CAB$ oraz $ABC$ przecinają jego boki $BC$ oraz $AC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Punkt $K$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$ . Załóżmy ponadto, że $\measuredangle BEK=45^\circ$ . Wyznaczyć możliwe wartości $\measuredangle CAB$ .

L MOM - Zadanie 3

Ściśle rosnący ciąg $s_1,s_2,s_3,\dots$ , którego wyrazy są dodatnimi liczbami całkowitymi, ma tę własność, że jego podciągi

$ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\dots\qquad\text{oraz}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\dots $

są ciągami arytmetycznymi. Dowieść, że ciąg $s_1,s_2,s_3,\dots$ również jest ciągiem arytmetycznym.

L MOM - Zadanie 2

Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Punkty $P$ oraz $Q$ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $CA$ oraz $AB$ . Niech $K$ , $L$ oraz $M$ będą odpowiednio środkami odcinków $BP$ , $CQ$ oraz $PQ$ . Niech ponadto $\Gamma$ będzie okręgiem przechodzącym przez punkty $K$ , $L$ oraz $M$ . Załóżmy, że prosta $PQ$ jest styczna do okręgu $\Gamma$ . Wykazać, że $OP=OQ$ .

L MOM - Zadanie 1

Dana jest dodatnia liczba całkowita $n$ oraz parami różne liczby całkowite $a_1,\dots,a_k$ ( $k\geq2$ ), będące elementami zbioru $\{1,\dots,n\}$ . Ponadto, dla każdego $i=1,\dots,k-1$ , liczba $n$ jest dzielnikiem liczby $a_i(a_{i+1}-1)$ . Udowodnić, że $n$ nie jest dzielnikiem liczby $a_k(a_1-1)$ .

L MOM

Zadania z L Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej.

Załącznik	Wielkość
L MOM - Zadania z rozwiązaniami	196.18 KB

IX CPS - Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita $n\geq 16$ . Rozważmy zbiór

$ G=\left\{(x,y)\colon x,y\in\{1,2,\dots,n\}\right\}, $

składający się z $n^2$ punktów płaszczyzny. Niech $A$ będzie dowolnym podzbiorem $G$ , zawierającym co najmniej $4n\sqrt{n}$ punktów. Udowodnić, że istnieje co najmniej $n^2$ czworokątów wypukłych, o wierzchołkach w zbiorze $A$ , takich że przekątne każdego z nich przechodzą przez jeden ustalony punkt płaszczyzny.

Olimpiady Matematyczne