2007-2008

LIX OM - II -Zadanie 2

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ spełnione są zależności

$ \measuredangle ABD &= \measuredangle ACE,& \measuredangle ACB &= \measuredangle ACD, \\ \measuredangle ADC &= \measuredangle ADE,& \measuredangle ADB &= \measuredangle AEC. $

Odcinki $BD$ i $CE$ przecinają się w punkcie $S$ . Dowieść, że proste $AS$ i $CD$ są prostopadłe.

LIX OM - II -Zadanie 1

Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w
postaci $x^3 +2y^2$ dla pewnych liczb całkowitych $x, y$ .

Dana jest liczba całkowita $m \geqslant 2$ . Wyznaczyć najmniejszą taką liczbę całkowitą
$n \geqslant m$ , że dla każdego rozbicia zbioru $\{m,m+1,\dots ,n\}$ na dwa podzbiory, przynajmniej jeden z
tych podzbiorów zawiera takie liczby $a, b, c$ (niekoniecznie różne), że $ab = c$ .

LIX OM - I -Zadanie 11

Punkty $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7$ leżą odpowiednio na bokach $BC, CA, AB, BC, CA, AB, BC$
trójkąta $ABC$ , przy czym spełnione są równości

$ \measuredangle P_1P_2C =\measuredangle AP_2P_3 =\measuredangle P_3P_4B =\measuredangle CP_4P_5 =\measuredangle P_5P_6A=\measuredangle BP_6P_7 =60^{\circ}. $

Dowieść, że $P_1 = P_7$ .

LIX OM - I -Zadanie 10

Dana jest liczba pierwsza p. Ciąg liczb całkowitych dodatnich $a_1, a_2, a_3, \dots$ spełnia warunek

$ (1) \qquad a_{n+1} = a_n +p\left[ \sqrt[p]{a_n} \right]\quad \text{dla } n =1, 2,3,\dots. $

Wykazać, że pewien wyraz tego ciągu jest $p$ -tą potęgą liczby całkowitej.
(Uwaga: Symbol $[x]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $x$ .)

LIX OM - I -Zadanie 9

Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą a o następującej własności:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y, z \geqslant a$ spełniających warunek $x +y + z = 3$
prawdziwa jest nierówność

$ x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3. $

LIX OM - I -Zadanie 8

Dany jest ostrosłup czworokątny $ABCDS$ o podstawie czworokąta wypukłego $ABCD$ . Sfera wpisana w ten
ostrosłup jest styczna do ściany $ABCD$ w punkcie $P$ . Dowieść, że

$ \measuredangle APB + \measuredangle CPD = 180^{\circ}. $

LIX OM - I -Zadanie 7

W $n$ -osobowym stowarzyszeniu działa $2n-1$ komisji (każdy niepusty zbiór członków stowarzyszenia
tworzy komisję). W każdej komisji należy wybrać przewodniczącego. Wymagany jest przy tym warunek: Jeżeli
komisja $C$ jest sumą $C = A\cup B$ dwóch komisji $A$ i $B$ , to przewodniczący komisji $C$ jest też
przewodniczącym co najmniej jednej z komisji $A$ , $B$ . Wyznaczyć liczbę możliwych wyborów przewodniczących.