2006-2007

I MEMO - Zadanie 5

Dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunki

\[<br /> {1\over 2}\le a,b,c,d\le 2\qquad\hbox{oraz}\qquad abcd=1.<br /> \]

Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia

\[<br /> \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr)<br /> \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr).<br /> \]

I MEMO - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary $ (x,y) $ liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie

\[<br /> x!+y!=x^y\,.<br /> \]

I MEMO - Zadanie 3

Dany jest okrąg $ k $ oraz okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $, $ k_4 $ o środkach odpowiednio $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $, $ O_4 $ leżących na okręgu $ k $. Dla $ i=1,2,3,4 $ okręgi $ k_i $ oraz $ k_{i+1} $ (gdzie $ k_5=k_1 $) przecinają się w punktach $ A_i $ i $ B_i $ w taki sposób, że $ A_i $ leży na okręgu $ k $. Zakładamy, że punkty $ O_1 $, $ A_1 $, $ O_2 $, $ A_2 $, $ O_3 $, $ A_3 $, $ O_4 $, $ A_4 $ leżą w takiej kolejności na okręgu $ k $ i są parami różne. Wykazać, że czworokąt $ B_1B_2B_3B_4 $ jest prostokątem.

I MEMO - Zadanie 2

Rozważamy zbiór $ n $ kul ponumerowanych liczbami $ 1, 2, 3, \ldots, n $. Danych jest $ k>1 $ takich zbiorów kul. Chcemy pokolorować wszystkie kule dwoma kolorami, białym i czarnym, tak aby

  1. kule oznaczone tym samym numerem były tego samego koloru;

  2. dowolny podzbiór $ k+1 $ kul z (niekoniecznie różnymi)
    numerami $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_{k+1} $ spełniającymi
    warunek

    \[<br /> a_1+a_2+\ldots+a_k=a_{k+1}<br /> \]

    musiał zawierać co najmniej jedną kulę każdego koloru.

Dla każdego $ k $ znaleźć największe możliwe $ n $, dla którego istnieje pokolorowanie spełniające powyższe warunki.

I MEMO

Zadania z I Środkowo-Europejskiej Olimpiady Matematycznej
ZałącznikWielkość
I MEMO - Zadania z rozwiązaniami147.6 KB

XVIII ZMPB - Zadanie 20

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $ b<a $ oraz liczba $ a^3+b^3+ab $ jest podzielna przez $ ab(a-b) $. Udowodnić, że $ ab $ jest sześcianem liczby całkowitej.

XVIII ZMPB - Zadanie 19

Dane są dodatnie liczby całkowite $ r $ i $ k $. Wszystkie dzielniki pierwsze liczby $ r $ są większe od 50.

Dodatnią liczbę całkowitą, której zapis dziesiętny (bez zer początkowych) ma co najmniej $ k $ cyfr, nazwiemy ładną, jeżeli każdy ciąg $ k $ kolejnych cyfr tego zapisu przedstawia liczbę (być może z zerami początkowymi) podzielną przez $ r $.

Dowieść, że jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb ładnych, to liczba $ 10^k-1 $ też jest ładna.

XVIII ZMPB - Zadanie 18

Niech $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ będą takimi liczbami całkowitymi różnymi od zera, że jedyną czwórką liczb całkowitych $ (x,y,z,t) $ spełniającą równanie

\[<br /> ax^2+by^2+cz^2+dt^2=0<br /> \]

jest $ x=y=z=t=0 $. Czy wynika stąd, że liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ mają jednakowy znak?

XVIII ZMPB - Zadanie 17

Niech $ x $, $ y $, $ z $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

\[<br /> {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}<br /> \]

jest całkowita. Niech $ d $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $, $ y $ oraz $ z $. Udowodnić, że

\[<br /> d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}.<br /> \]
Subskrybuje zawartość