2005-2006

LVII OM - II - Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC+BC =3AB$ . Okrąg o środku $I$ wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boków
$BC$ i $CA$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Niech $K$ i $L$ będą punktami symetrycznymi odpowiednio do punktów
$D$ i $E$ względem punktu $I$ . Udowodnić, że punkty $A, B, K, L$ leżą na jednym okręgu.

LVII OM - II - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $a, b, c, x, y, z$ spełniają równości

$ a^2 + b^2 = c^2, \quad x^2+y^2 = z^2 $

oraz nierówności $|x-a|\leq 1$ , $|y-b|\leq 1$ .

Wykazać, że zbiory $\{a,b\}$ oraz $\{x,y\}$ są równe.

LVII OM - I - Zadanie 12

Niech $a_0$ będzie liczbą całkowitą dodatnią i niech

$ a_{i+1} = \begin{cases} a_i/2, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą parzystą}, \\ 3a_i -1, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą nieparzystą} \end{cases} $

dla $i=0,1,2,\dots$ . Wykazać, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią spełniającą warunek $a_n = a_0$ , to $2^n >a_0$ .

LVII OM - I - Zadanie 11

W czworokącie $ABCD$ miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku $A$ jest większa od $180^{\circ}$ oraz zachodzi równość

$ AB \cdot CD = AD \cdot BC . $

Punkt $P$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $BD$ Udowodnić, że $\measuredangle PCB = \measuredangle ACD$ .

LVII OM - I - Zadanie 10

Liczby rzeczywiste dodatnie $a, b, c$ spełniają warunek

$ ab+ bc +ca =3. $

Dowieść, że

$ a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \geqslant 9. $

LVII OM - I - Zadanie 9

Dane są nieujemne liczby całkowite $k_1 <k_2 <\dots <k_m$ . Niech

$ n =2^{k_1} +2^{k_2} +\dots+2^{k_m}. $

Wyznaczyć liczbę nieparzystych współczynników wielomianu

$ P(x)=(x+1)^n . $

LVII OM - I - Zadanie 8

Czworościan $ABCD$ jest opisany na kuli o środku $S$ i promieniu 1, przy czym $SA \geq SB \geq SC$ . Wykazać, że $SA > \sqrt{5}$ .

LVII OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba pierwsza $p> 3$ oraz takie liczby całkowite dodatnie $a, b, c$ , że $a + b+ c = p+1$ oraz liczba
$a^3 +b^3 +c^3 -1$ jest podzielna przez $p$ . Udowodnić, że co najmniej jedna z liczb $a, b, c$ jest równa 1.

LVII OM - I - Zadanie 6

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ wysokości przecinają się w punkcie $H$ . Prosta przechodząca przez $H$ przecina odcinki $AC$ i $BC$
odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Prosta przechodząca przez $H$ i prostopadła do prostej $DE$ przecina prostą $AB$ w punkcie $F$ .
Dowieść, że

$ \frac{DH}{HE} = \frac{AF}{FB} $

LVII OM - I - Zadanie 5

Niech $a, b$ będą liczbami rzeczywistymi. Rozważamy funkcje $f(x)= ax+b|x|$ oraz $g(x)= ax-b|x|$ .
Wykazać, że jeśli $f(f(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , to również $g(g(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .