Ciągi

XV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć $n$ -ty wyraz ciągu liczb $a_1, a_2, a_n, \ldots$ , w którym $a_1 = 1$ , $a_2 = 3$ , $a_3 = 6$ oraz dla każdego naturalnego $k$

$ (1) \qquad a_{k-3}-3a_{k-2}+3a_{k-1}-a_k=0. $

Dany jest ciąg liczb $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ( $n \geq 3$ ), w którym $a_1 = a_n = 0$ oraz $a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_{k+1}$ dla $k = 2, 3, \ldots, (n - 1)$ . Dowieść, że w tym ciągu nie ma wyrazów dodatnich.

XXI OM - III -Zadanie 2

Dane są trzy ciągi nieskończone, których elementami są liczby naturalne:

$ \begin{split} a_1, a_2, \ldots, \\ b_1, b_2, \ldots, \\ c_1, c_2, \ldots, \end{split} $

przy czym jeżeli $i \neq j$ , to $a_i \neq a_j$ , $b_i \neq b_j$ , $c_i \neq c_j$ .
Udowodnić, że istnieje para wskaźników $k, l$ taka, że $k < l$ i $a_k < a_l$ , $b_k < b_l$ , $c_k < c_l$ .

XXI OM - I -Zadanie 2

Dany jest ciąg $\{c_n\}$ określony wzorami $c_1=\frac{a}{2}$ , $c_{n+1}=\frac{a+c_n^2}{2}$ gdzie $a$ jest daną liczbą spełniającą nierówność $0 < a < 1$ . Dowieść, że dla każdego $n$ zachodzi nierówność $c_n < 1 - \sqrt{1 - a}$ Wykazać zbieżność ciągu $\{c_n\}$ i obliczyć jego granicę.

XXII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $a_n$ jest ciągiem różnych liczb naturalnych, których rozwinięcia dziesiętne nie zawierają, cyfry O, to

$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} < 29. $

XXII OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg nieskończony $\{a_n\}$ . Dowieść, że jeżeli

$ a_n + a_{n+2} > 2a_{n+1} \quad \tex{ dla } \quad n = 1, 2, \ldots, $

to

$ \frac{a_1+a_3+\ldots a_{2n+1}}{n+1} \geq \frac{a_2+a_4+\ldots a_{2n}}{n} $

dla $n = 1, 2, \ldots$ .

XXII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy $2n$ razy monetą. Niech $p_n$ oznacza prawdopodobieństwo, że otrzymamy serię o długości $r > n$ . Udowodnić, że $\lim p_n = 0$ .

XXII OM - I - Zadanie 10

Dana jest tablica o $n$ wierszach i $n$ kolumnach. Liczba znajdująca się w $m$ -tej kolumnie i $k$ -tym wierszu równa jest $n(k - 1) + m$ . Jak należy wybrać $n$ liczb, po jednej z każdego wiersza i każdej kolumny, aby iloczyn tych liczb był największy ?