Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

II OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ABC$ na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ obrano odpowiednio punkty $D$ , $E$ , $F$ w taki sposób, że

$ BD \colon DC = CE \colon EA = AF \colon FB = k, $

gdzie $k$ jest daną liczbą dodatnią. Mając dane pole $S$ trójkąta $ABC$ obliczyć pole trójkąta $DEF$ .

II OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli $A + B + C = 180^\circ$ , a $n$ jest liczbą nieparzystą, to

$ (1) \qquad \sin nA + \sin nB + \sin nC = 4 \cdot (- 1)^{\frac{n-1}{2}} \cos \frac{nA}{2} \cos \frac{nB}{2} \cos \frac{nC}{2}. $

II OM - I - Zadanie 11

W dany kwadrat wpisać taki kwadrat, którego jeden bok lub jego przedłużenie przechodzi przez dany punkt $K$ .

II OM - I - Zadanie 10

Na trójkącie $ABC$ opisano okrąg. Znając promień $R$ tego okręgu obliczyć promień okręgu przechodzącego przez środki trzech okręgów dopisanych (zawpisanych) trójkąta $ABC$ .

II OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać układ równań

$ \left\{ \begin{array}{l} xy = ax + by\\ yz =ay + bz\\ zx = az + bx. \end{array} \right. $

II OM - I - Zadanie 8

Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków o danej długości $a$ , których końce leżą na dwóch prostych wzajemnie prostopadłych (przecinających się lub skośnych).

Dany jest okrąg $C$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące w nierównych odległościach od środka tego okręgu. Dowieść, że wspólne cięciwy okręgu $C$ z okręgami przechodzącymi przez punkty $A$ i $B$ leżą na prostych mających jeden punkt wspólny.

II OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli suma liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ jest równa $1$ , to

$ (1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9. $

II OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną parzystą, to liczba $13^n + 6$ jest podzielna przez $7$ .

II OM - I - Zadanie 4

Dane są dwie przecinające się płaszczyzny $A$ i $B$ oraz prosta $m$ przecinająca płaszczyzny $A$ i $B$ . Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do prostej $m$ , których końce leżą na płaszczyznach $A$ i $B$ .

Olimpiady Matematyczne