Funkcje i ich własności

XXIII OM - I - Zadanie 1

Narysować wykres funkcji

$ y=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} $

Niech $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ będzie funkcją rosnącą spełniającą warunki:
1. $f(x+1) = f(x) + 1$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ ,
2. istnieje taka liczba całkowita p, że $f(f(f(O))) = p$ . Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$

$ \lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{n} = \frac{p}{3}. $

gdzie $x_1 = x$ oraz $x_n =f(x_{n-1})$ dla $n = 2, 3, \ldots$ .

XXVI - III - Zadanie 6

Dane są funkcje $S$ i $T$ , $S(x) = 1 - x$ , $T(x) = -\frac{1}{2}$ dla $0\leq x \leq 1$ . Czy istnieje funkcja $f$ postaci

$ (1) \qquad f= g_1 \circ g_2 \circ \ldots g_n, \text{ gdzie }g_k = T \text{ lub } g_k = S $

dla $k = 1,2, \ldots, n$ przy pewnym naturalnym $n$ taka, że

$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1975}{2^{1975}} ? $

XXVII OM - I - Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem

$ f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i} $

gdzie $x_1, x_2, \ldots, x_n$ są danymi liczbami rzeczywistymi.

XXVIII - III - Zadanie 4

Funkcja $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest różniczkowalna i spełnia dla każdego $x$ warunek $h(ax) = b h(x)$ , gdzie $a$ i $b$ są pewnymi ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $0 \neq |a| \neq 1$ . Ponadto $h'(0) \neq 0$ i funkcja $h'$ jest ciągła w punkcie $x = 0$ .
Udowodnić, że $a = b$ oraz istnieje taka liczba rzeczywista $c$ , że $h(x) = cx$ .

XXIX OM - I - Zadanie 11

Niech $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą, dla której istnieje liczba $x$ spełniająca warunki: $f(f(f(x))) = x$ , $f(x) \neq x$ .
Udowodnić, że istnieją takie liczby $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , że $y_i \neq y_j$ dla $i \neq j$ oraz $f(f(y_k))=y_k$ dla $k = 1, 2, 3$ .
Uwaga. Wiadomo, że każda funkcja ciągła $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ma własność Darboux, to znaczy jeżeli $a < b$ i $d$ jest zawarte pomiędzy $g(a)$ i $g(b)$ , to istnieje taka liczba $c \in [a, b]$ , że $g(c) = d$ .

XXXIV OM - I - Zadanie 7

Niech $S_n$ będzie zbiorem ciągów długości $n$ o wyrazach $-1$ , $+1$ . Określamy funkcję $f: S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)} \to S_n$ jak następuje: jeśli $(a_1, \ldots, a_n) \in S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)\}$ i $k = \max_{1\leq j \leq n} \{j \;:\; a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_j = 1\}$ , to $f(a_1,\ldots, a_n) = (a_1, \ldots, a_{k-1}, -a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n)$ . Udowodnić, że