Liczby całkowite

VI OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że spośród siedmiu liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $ 30 $ jedna i tylko jedna jest podzielna przez $ 7 $.

VI OM - II - Zadanie 2

Znaleźć liczbę naturalną $ n $ wiedząc, że suma

\[<br /> 1 + 2 + 3 + \ldots + n<br /> \]

jest liczbą trójcyfrową o jednakowych cyfrach.

VI OM - I - Zadanie 6

Jakie warunki konieczne i dostateczne powinny spełniać liczby całkowite $ a $ i $ b $, przy czym $ b $ nie jest kwadratem liczby całkowitej, żeby istniały liczby całkowite $ x $ i $ y $ spełniające równanie

\[<br /> \sqrt{a- \sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}.<br /> \]

VI OM - I - Zadanie 2

Fabryka wysyła towar w paczkach po $ 3 $ kg i po $ 5 $ kg. Wykazać, że można w ten sposób wysłać każdą całkowitą ilość kilogramów większą niż $ 7 $. Czy można w tym zadaniu zastąpić dane liczby innymi liczbami?

VII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie

\[<br /> (1) \qquad a^2 + b^2 = c^2,<br /> \]

to:

1° co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 3 $,

2° co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 4 $,

3° co najmniej jedna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest podzielna przez $ 5 $.

VII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że równanie $ 2x^2 - 215y^2 = 1 $ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

VIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ ax^2 + bx + c $ przybiera wartość całkowitą dla każdej całkowitej wartości zmiennej $ x $, to $ 2a $, $ a + b $, $ c $ są liczbami całkowitymi i na odwrót.

VIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczfią całkowitą, to

\[<br /> \frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{n}{30}<br /> \]

jest też liczbą całkowitą.

Subskrybuje zawartość