Nierówności

VII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, ze z odcinków o długościach $ a $, $ b $, $ c $ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br /> (1) \qquad a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 > \frac{1}{2} (a^4 + b^4 + c^4).<br /> \]

VIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego trójkąta zachodzą nierówności

\[<br /> (1) \qquad \frac{1}{2r} < \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} < \frac{1}{r},<br /> \]

gdzie $ r $ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt, a $ h_1 $ i $ h_2 $ - dwie wysokości tego trójkąta.

IX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że zachodzi nierówność

\[<br /> (1) \qquad<br /> \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + d} + \frac{1}{a + c + d}+ \frac{1}{b + c + d} \geq \frac{16}{3(a + b + c + d)},<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ oznaczają liczby dodatnie.

X OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla dowolnych liczb $ a $ i $ b $ zachodzi nierówność

\[<br /> (1) \qquad<br /> \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq<br /> \frac{a^6+b^6}{2}.<br /> \]

X OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, a $ d $ dowolną liczbą dodatnią, to

\[<br /> \textrm{a)} \qquad (1 + d)^n > 1 + nd,<br /> \]
\[<br /> \textrm{b)} \qquad 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n < (n + 1)^n.<br /> \]

XI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą całkowitą większą od $ 4 $, to $ 2^n $ jest większe, od $ n^2 $.

XI OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a $ i $ b $ nie są obie równe zeru, to dla każdego naturalnego $ n $

\[<br /> (1) \qquad a^{2n} + a^{2n-1}b + a^{2n-2} b^2 + \ldots + ab^{2n-1} + b^{2n} > 0.<br /> \]
Subskrybuje zawartość