Rachunek prawdopodobieństwa

XXVIII - I - Zadanie 11

Spośród liczb $ 1, 2, \ldots, n $ wybieramy jedną, przy czym wybór każdej z nich jest jednakowo prawdopodobny. Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem takiego zdarzenia,, że w zapisie dziesiętnym wybranej liczby występują wszystkie cyfry: $ 0, 1, \ldots, 9 $. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.

XXIX OM - II - Zadanie 4

Spośród wierzchołków $ 2n $-kąta foremnego wybrano losowo 3 różne punkty. Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach jest ostrokątny. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.
Uwaga. Zakładamy, że wszystkie wybory trzech różnych punktów są jednakowo prawdopodobne.

XXX OM - III - Zadanie 3

Doświadczenie polega na wykonaniu $ n $ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $ i $-tej próbie wynosi $ p_i $. Niech $ r_k $ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $ k $ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

\[<br /> \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k.<br /> \]

XXX OM - I - Zadanie 12

Aby zakwalifikować się do kadry, zawodnik musi przejść z pozytywnym wynikiem przez co najmniej cztery spośród siedmiu testów. Jeśli będzie się przygotowywał do wszystkich testów, to prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w każdym z tych testów jest jednakowe i równe $ \frac{1}{2} $. Jeśli będzie się przygotowywał do pięciu testów, to odpowiednie prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych pięciu testów będzie równe $ \frac{3}{4} $. Jeśli zaś będzie się przygotowywał do czterech testów, to prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych czterech testów wyniesie $ \frac{4}{5} $. Który z trzech wymienionych sposobów przygotowywania się jest najkorzystniejszy dla zawodnika?

XXXI - III - Zadanie 3

Obieramy liczbę całkowitą $ k $ z przedziału $ [1, 99] $. Następnie rzucamy 100 razy monetą (wyniki rzutów są niezależne). Niech

\[<br /> \varepsilon_j = \begin{cases}<br /> 1, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie orzeł,} \\<br /> 2, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie reszka.}<br /> \end{cases}<br /> \]

Oznaczmy przez $ M_k $ zdarzenie polegające na tym, że istnieje taka liczba $ i $, że $ k + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_i = 100 $. Jakie powinno być $ k $, aby prawdopodobieństwo zdarzenia $ M_k $ było największe?

XXXI - II - Zadanie 5

Wypisujemy kolejno wyrazy ciągu $ (n_1, n_2, \ldots, n_k) $, gdzie $ n_1 = 1000 $, zaś $ n_j $ dla $ j > 1 $ jest liczbą całkowitą wybraną losowo z przedziału $ [0, n_{j-1} - 1] $ (wybór każdej liczby z tego przedziału jest jednakowo prawdopodobny). Kończymy wypisywanie, gdy wybrana liczba jest zerem, tzn. $ n_{k-1} $, $ n_k = 0 $, Długość $ k $ ciągu $ (n_1, n_2, \ldots, n_k) $ jest zmienną losową. Udowodnić, że wartość oczekiwana tej zmiennej losowej jest większa od 7.

XXXIV OM - II - Zadanie 6

Dla danej liczby $ n $ oznaczmy przez $ p_n $ prawdopodobieństwo tego, że przy losowym wyborze pary liczb całkowitych $ k, m $ spełniających warunki $ 0 \leq k \leq m \leq 2^n $ (wybór każdej pary jest jednakowo prawdopodobny) liczba $ \binom{m}{k} $ będzie parzysta. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.

XXXIV OM - I - Zadanie 1

$ A $ rzuca monetą $ n $ razy, $ B $ rzuca $ n+1 $ razy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze $ B $ wyrzuci więcej orłów niż $ A $?

XXXV OM - III - Zadanie 4

Rzucamy $ n $-krotnie monetą i wynik zapisujemy w postaci ciągu $ (a_1, a_2, \ldots, a_n) $, gdzie $ a_i = 1 $ lub $ a_i = 2 $ w zależności od tego, czy w $ i $-tym rzucie wypadł orzeł, czy reszka. Przyjmujemy $ b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j $ dla $ j = 1, 2,\ldots, n $, $ p(n) $ jest prawdopodobieństwem tego, że w ciągu $ (b_1, b_2, \ldots, b_n) $ wystąpi liczba $ n $. Wyznaczyć $ p(n) $ w zależności od $ p(n-1) $ i $ p(n-2) $.

XXXV OM - II - Zadanie 4

W zawodach Olimpiady Matematycznej bierze udział $ 3n $ uczestników. Mają oni wyznaczone miejsca w trzech rzędach, po $ n $ miejsc w każdym i są wpuszczani na salę pojedynczo, po czym natychmiast zajmują swoje miejsca. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że aż do momentu zajęcia miejsca przez ostatniego zawodnika, w każdej chwili dla każdych dwóch rzędów różnica liczb siedzących w nich zawodników jest nie większa od 1.

Subskrybuje zawartość