Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Równania funkcyjne

XLIII OM - III - Zadanie 4

Ciąg funkcji $f_0, f_1, f_2, \ldots$ określony w następujący sposób:

$ f_0(x) = 8 \quad \text{ dla wszystkich } x\in \mathbb{R}, $

$ f_{n+1}(x) = \sqrt{x^2+6f_n(x)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots \text{ oraz wszystkich } x\in \mathbb{R}. $

Dla każdej liczby naturalnej rozwiązać równanie

$ f_n(x) = 2x. $

Dodaj komentarz

XLIII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ określone na zbiorze liczb wymiernych dodatnich, o wartościach w tym samym zbiorze, spełniające dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych warunki

$ f(x+1) = f(x)+1 \quad \text{ oraz }\quad f(x^3) = (f(x))^3. $

XLIV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniające następujące warunki:

$ f(-x)=-f(x), \quad f(x+1)=f(x)+1 \quad \text{ dla }x \in \mathbb{R}, $

$ f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{f(x)}{x^2} \quad \text{ dla } x\neq 0. $

XLIV OM - II - Zadanie 6

Dana jest funkcja ciągła $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniająca warunki:

$ f(1000) =999, \quad f(x)\cdot f(f(x)) = 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbf{R}. $

Obliczyć $f(500)$ .

XLIV OM - I - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takie, że

$ f(x+y)-f(x-y)=f(x)\cdot f(y) \quad \text{ dla } x,y \in \mathbb{R}. $

XLV OM - I - Zadanie 2

Ciąg funkcji $f_0, f_1, f_2, \ldots$ jest określony następująco:

$ f_0(x) = |x| \quad \text{ dla wszystkich } x \in \mathbb{R}, $

$ f_{n+1}(x) = |f_n(x)-2| \quad \text{ dla } n=O,1,2, \ldots \text{ oraz wszystkich } x \in \mathbb{R}. $

Dla każdej liczby naturalnej $n$ rozwiązać równanie $f_n(x) = 1$ .

XLIX OM - II - Zadanie 1

Niech $A_n = \{1, 2,\ldots, n\}$ . Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ istnieją funkcje $f: A_n \to A_n$ , $g: A_n \to A_n$ , spełniające warunki:

$ f (f (k))= g(g(k)) = k\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n; $

$ g(f (k)) = k + 1\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n-1. $

L OM - II - Zadanie 5

Niech $S = \{1, 2,3,4, 5\}$ . Wyznaczyć liczbę funkcji $f: S \to S$ spełniających równość $f^{50} (x) = x$ dla wszystkich $x \in S$ .

Uwaga: $f^{50}(x) = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{50} (x)$ .

Dana jest funkcja $f: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ taka, że $f(\frac{1}{n}) = (-1)^n$ dla $n = 1, 2,\ldots$ . Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące $g: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ , $h: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ , że $f = g - h$ .

LI OM - II - Zadanie 5

Niech $\mathbb{N}$ oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. Rozstrzygnąć, czy istnieje taka funkcja $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ , że dla każdego $n\in \mathbb{N}$ zachodzi równość $f(f(n)) =2n$ .