Stereometria

V OM - I - Zadanie 8

Dane są odległości wzajemne czterech punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ w przestrzeni. Obliczyć długość odcinka łączącego środek odcinka $AB$ ze środkiem odcinka $CD$ .

Wewnątrz kąta trójściennego $OABC$ , którego kąty płaskie $AOB$ , $BOC$ , $COA$ są równe, obrano punkt $S$ równo odległy od ścian tego kąta. Przez punkt $S$ poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędzie $OA$ , $OB$ , $OC$ odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że suma

$<br /> \frac{1}{OM} + \frac{1}{ON} + \frac{1}{OP}<br />$

ma wartość stałą, tzn. niezależną od położenia płaszczyzny $MNP$ .

VI OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli istnieje kula styczna do wszystkich krawędzi czworościanu, to sumy krawędzi przeciwległych czworościanu są równe i że prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

VII OM - III - Zadanie 6

Dana jest kula o promieniu $R$ i płaszczyzna $\alpha$ nie mająca z tą kulą punktów wspólnych. Po płaszczyźnie $\alpha$ porusza się punkt $S$ , który jest wierzchołkiem stożka stycznego do kuli wzdłuż okręgu o środku $C$ . Znaleźć miejsce geometryczne punktu $C$ .

VII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe przecinają się w jednym punkcie, to

$<br /> (1) \qquad AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC<br />$

i że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

VII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że: a) suma odległości dowolnego punktu $M$ trójkąta równobocznego od trzech boków trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od położenia punktu $M$ w trójkącie; b) suma odległości dowolnego punktu czworościanu foremnego od czterech ścian czworościanu jest stała.

VII OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni leży prostokąt $ABCD$ oraz punkt $M$ . Obliczyć odległość $MD$ mając dane odległości $MA$ , $MB$ , $MC$ .

VIII OM - III - Zadanie 6

Dany jest sześcian o podstawie $ABCD$ , przy czym $AB = a$ cm. Obliczyć odległość prostej $BC$ od prostej przechodzącej przez punkt $A$ i przez środek $S$ ściany przeciwległej do podstawy.

VIII OM - II - Zadanie 3

Dany jest sześcian o krawędzi $AB = a$ cm. Punkt $M$ odcinka $AB$ jest odległy od przekątnej sześcianu, skośnej względem $AB$ , o $k$ cm. Znaleźć odległość punktu $M$ od środka $S$ odcinka $AB$ .

VIII OM - I - Zadanie 8

W prostopadłościanie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ dane są długości krawędzi $AA_1 = a$ , $AB = b$ , $AD = c$ . Na ścianie $A_1B_1C_1D_1$ obrano punkt $M$ w odległości $p$ od boku $A_1B_1$ , a w odległości $q$ od boku $A_1D_1$ i zbudowano równoległościan o podstawie $ABCD$ i krawędzi bocznej $AM$ . Obliczyć pole ścian bocznych tego równoległościanu.