Wielomiany

VII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ p_1 $, $ p_2 $, $ q_1 $, $ q_2 $ spełniają równość

\[<br /> (1) \qquad p_1p_2 = 2(q_1 + q_2),<br /> \]

to co najmniej jedno z równań

\[<br /> (2) \qquad x^2 + p_1x + q_1 = 0, \quad x^2 + p_2x + q_2 = 0<br /> \]

ma pierwiastki rzeczywiste.

VIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ ax^2 + bx + c $ przybiera wartość całkowitą dla każdej całkowitej wartości zmiennej $ x $, to $ 2a $, $ a + b $, $ c $ są liczbami całkowitymi i na odwrót.

IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ k $ jest liczbą naturalną, to

\[<br /> (1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) =<br /> 1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m,<br /> \]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną zależną od $ k $; wyznaczyć $ m $.

IX OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli wielomian $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ o współczynnikach całkowitych przybiera dla $ x = 0 $ i $ x = 1 $ wartości nieparzyste, to równanie $ f(x) = 0 $ nie ma pierwiastków całkowitych.

IX OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli każda z funkcji

\[ (1) \qquad (a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2, \]
\[ (2) \qquad (b_1x + c_1)^2 + (b_2x + c_2)^2 \]

jest kwadratem funkcji liniowej nie będącej stałą, to funkcja

\[ (3) \qquad (c_1x + a_1)^2 + (c_2x + a_2)^2 \]

jest kwadratem funkcji liniowej.

X OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie kwadratowe

\[<br /> (1) \qquad ax^2 + bx + c = 0<br /> \]

o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to co najmniej jedna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest parzysta.

X OM - II - Zadanie 1

Jaki warunek konieczny i dostateczny powinny spełniać współczynniki $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, aby równanie

\[<br /> (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0<br /> \]

miało dwa pierwiastki przeciwne ?

X OM - I - Zadanie 9

Znaleźć warunek konieczny i dostateczny, jaki mają spełniać współczynniki równania

\[<br /> (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,<br /> \]

aby istniały dwa różne pierwiastki tego równania mające iloczyn równy jedności.

XI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie

\[<br /> (1) \qquad x^4 + ax + b = 0<br /> \]

ma dwa równe pierwiastki, to

\[<br /> (2) \qquad<br /> \left( \frac{a}{4} \right)^4 =<br /> \left( \frac{b}{3} \right)^3.<br /> \]
Subskrybuje zawartość