Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

III MEMO - Zadanie 3

Niech $ABCD$ będzie czworokątem wypukłym, w którym $AB=CD$ oraz proste $AB$ i $CD$ nie są równoległe. Punkty $E$ i $F$ są środkami przekątnych $AC$ i $BD$ . Prosta $EF$ przecina odcinki $AB$ i $CD$ odpowiednio w punktach $G$ i $H$ . Udowodnić, że $\measuredangle AGH=\measuredangle DHG$ .

III MEMO - Zadanie 2

Dane jest $n\geq3$ różnych kolorów. Niech $f(n)$ będzie największą liczbą całkowitą o następującej własności: Możliwe jest takie pokolorowanie wszystkich boków i przekątnych wielokąta wypukłego o $f(n)$ wierzchołkach, że

wykorzystane są co najmniej dwa różne kolory,
każde trzy wierzchołki wielokąta wyznaczają trójkąt o wszystkich bokach jednakowego koloru lub o wszystkich bokach różnego koloru.

Dowieść, że $f(n)\leq(n-1)^2$ oraz że równość zachodzi dla nieskończenie wielu wartości $n$ .

III MEMO - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R$ warunek

$ (1) \qquad f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)). $

Uwaga: $\mathbb{R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych.

III MEMO

Zadania z III Środkowo-Europejskiej Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
III MEMO - Zadania z rozwiązaniami	237.09 KB

Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

1 załącznik

I MEMO - Zadanie 8

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $k$ , dla których istnieje taka liczba całkowita $a$ , że liczba $(a+k)^3-a^3$ jest podzielna przez 2007.

I MEMO - Zadanie 7

Czworościan $T$ nazwiemy dobrym, jeżeli wszystkie długości jego krawędzi są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, z których jedna jest równa 2, a jedna 3. Oznaczmy przez $s(T)$ sumę długości krawędzi dobrego czworościanu $T$ .

Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite $n$ , dla których istnieje dobry czworościan $T$ spełniający warunek $s(T)=n$ .

Ile istnieje nieprzystających dobrych czworościanów $T$ , dla których $s(T)=2007$ ?

Uwaga: Nie jest konieczne dowodzenie, że rozważane czworościany są niezdegenerowane, tzn. posiadają dodatnią objętość.

I MEMO - Zadanie 6

Niech $P$ będzie dowolnym zbiorem pięciu różnych punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Oznaczmy przez $a(P)$ liczbę trójkątów ostrokątnych, których wierzchołki należą do zbioru $P$ . Wyznaczyć największą możliwą wartość $a(P)$ .

I MEMO - Zadanie 5

Dodatnie liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunki

$ {1\over 2}\le a,b,c,d\le 2\qquad\hbox{oraz}\qquad abcd=1. $

Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia

$ \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr) \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr). $

I MEMO - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary $(x,y)$ liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie

$ x!+y!=x^y\,. $

I MEMO - Zadanie 3

Dany jest okrąg $k$ oraz okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ , $k_4$ o środkach odpowiednio $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ , $O_4$ leżących na okręgu $k$ . Dla $i=1,2,3,4$ okręgi $k_i$ oraz $k_{i+1}$ (gdzie $k_5=k_1$ ) przecinają się w punktach $A_i$ i $B_i$ w taki sposób, że $A_i$ leży na okręgu $k$ . Zakładamy, że punkty $O_1$ , $A_1$ , $O_2$ , $A_2$ , $O_3$ , $A_3$ , $O_4$ , $A_4$ leżą w takiej kolejności na okręgu $k$ i są parami różne. Wykazać, że czworokąt $B_1B_2B_3B_4$ jest prostokątem.