2003-2004

LV OM - II - Zadanie 2

W sześciokącie wypukłym $ ABCDEF $ wszystkie boki są równej długości oraz

\[<br /> \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = \measuredangle B + \measuredangle D + \measuredangle F.<br /> \]

Dowieść, że przekątne $ AD $, $ BE $ i $ CF $ przecinają się w jednym punkcie.

LV OM - II - Zadanie 1

Liczby dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają układ równań

\[<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> a^3 + b^3 + c^3 = 3d^3\\<br /> b^4 + c^4 + d^4 = 3a^4\\<br /> c^5 + d^5 + a^5 = 3b^5.<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

Udowodnić, że $ a = b = c = d $.

LV OM - I - Zadanie 12

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 5 $. Wyznaczyć liczbę rozwiązań w liczbach rzeczywistych $ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n $ układu równań

\[<br /> x_{i-2}^{3}+x_{i-1}^{3}+x_{i}^{3}=x_{i}^{4}+x_{i+1}^{3}+x_{i+2}^{2}\ \textrm{dla}\ i=1,2,3, \ldots, n,<br /> \]

gdzie $ x_{-1}=x_{n-1}, $ $ x_{0}=x_{n}, $ $ x_{1}=x_{n+1}, $ $ x_{2}=x_{n+2} $.

LV OM - I - Zadanie 11

Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trapezie równoramiennym $ ABCD $ o podstawach $ AB $ i $ CD $. Punkty $ K $, $ L $, $ M $, $ N $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $, przy czym czworokąt KLMN jest rombem. Udowodnić, że punkt $ O $ leży na prostej $ KM $.

LV OM - I - Zadanie 10

Dany jest wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków. Każdy bok wielokąta ma długość 2 lub 3, przy czym liczba boków każdej z tych długości jest parzysta. Dowieść, że istnieją dwa wierzchołki wielokąta, które dzielą jego obwód na dwie części jednakowej długości.

LV OM - I - Zadanie 9

Dane są wielomiany $ W_1(x),W_2(x), W_3(x),\ldots, W_n(x) $ stopnia co najmniej 1, o współczynnikach całkowitych. Wykazać, że dla pewnej liczby całkowitej $ a $ wszystkie liczby

\[<br /> W_1(a), W_2(a), W_3(a),\ldots, W_n(a)<br /> \]

są złożone.

LV OM - I - Zadanie 7

Znaleźć wszystkie takie rozwiązania równania $ a^2+b^2=c^2 $ w liczbach całkowitych dodatnich, że liczby $ a $ i $ c $ są pierwsze, a liczba $ b $ jest iloczynem co najwyżej czterech liczb pierwszych.

LV OM - I - Zadanie 6

Niech $ c $ będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian

\[<br /> P(x) = x^5 - 5x^3 + 4x - c<br /> \]

ma pięć różnych pierwiastków rzeczywistych $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $. Wyznaczyć, w zależności od $ c $, sumę wartości bezwzględnych współczynników wielomianu

\[<br /> Q(x)=(x-x_{1}^{2})(x-x_{2}^{2})(x-x_{3}^{2})(x-x_{4}^{2})(x-x_{5}^{2}).<br /> \]

LV OM - I - Zadanie 5

Dla liczb całkowitych dodatnich $ m $, $ n $ niech $ N(m,n) $ oznacza liczbę $ m $-wyrazowych ciągów niemalejących o wyrazach ze zbioru

\[<br /> \{1,2, 3,\ldots,n\}.<br /> \]

Dowieść, że $ N(m, n+1) =N(n, m+1) $.

Subskrybuje zawartość