2002-2003

LIV OM - II - Zadanie 2

Czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w okrąg $ o $. Dwusieczne kątów $ DAB $ i $ ABC $ przecinają się w punkcie $ P $, a dwusieczne kątów $ BCD $ i $ CDA $ przecinają się w punkcie $ Q $. Punkt $ M $ jest środkiem tego łuku $ BC $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ D $ i $ A $. Punkt $ N $ jest środkiem tego łuku $ DA $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ B $ i $ C $. Dowieść, że punkty $ P $ i $ Q $ leżą na prostej prostopadłej do $ MN $.

LIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że istnieje taka liczba całkowita $ n> 2003 $, że w ciągu

\[<br /> {n \choose 0},\ {n \choose 1}, {n \choose 2},\ldots ,{n \choose 2003}<br /> \]

każdy wyraz jest dzielnikiem wszystkich wyrazów po nim następujących.

LIV OM - I - Zadanie 12

Dla liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ określamy

\[<br /> A = a^3 + b^3 + c^3 + d^3, \ B = bcd + cda + dab + abc.<br /> \]

Udowodnić nierówność

\[<br /> (a + b + c + d)^3 < 4A + 24B.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt wypukły $ ABCD $. Punkty $ P $ i $ Q $, różne od wierzchołków czworokąta, leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CD $, przy czym $ \measuredangle BAP = \measuredangle DAQ $. Udowodnić, że trójkąty $ ABP $ i $ ADQ $ mają równe pola wtedy i tylko wtedy, gdy ich ortocentra leżą na prostej prostopadłej do $ AC $.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia wysokości.

LIV OM - I - Zadanie 10

Mamy talię 52 kart. Tasowaniem będziemy nazywać wykonanie następujących czynności: dowolny podział talii na część górną i dolną, a następnie dowolne zmieszanie kart z zachowaniem porządku w obrębie każdej części. Mówiąc formalnie, tasowaniem jest dowolne przemieszanie kart, w którym $ i $-ta karta od wierzchu przechodzi na pozycję $ p_i $, przy czym istnieje takie $ m\in \{ 1, 2, 3, \ldots, 51\} $, że $ p_i < p_{i+1} $ dla $ i<m $ oraz dla $ i > m $.

Rozstrzygnąć, czy rozpoczynając od ustalonego początkowego uporządkowania kart, można uzyskać każde inne uporządkowanie wykonując pięć tasowań.

LIV OM - I - Zadanie 9

Znaleźć wszystkie wielomiany $ W $ o współczynnikach rzeczywistych, mające następującą własność: jeśli $ x+ y $ jest liczbą wymierną, to

\[<br /> W(x) + W(y)<br /> \]

jest liczbą wymierną.

LIV OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ ABCD $ punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami krawędzi $ AB $ i $ CD $. Punkt $ P $ leży na odcinku $ MN $, przy czym $ MP = CN $ oraz $ NP = AM $. Punkt $ O $ jest środkiem sfery opisanej na czworościanie $ ABCD $. Dowieść, że jeżeli $ O \neq P $, to $ OP \perp MN $.

LIV OM - I - Zadanie 7

U cioci Reni spotkało się (łącznie z ciocią) $ n \geq 4 $ osób. Każdy z obecnych podarował co najmniej jednej z pozostałych osób co najmniej jeden prezent. Okazało się, że każdy podarował trzykrotnie więcej prezentów niż sam otrzymał, z jednym wyjątkiem: ciocia Renia podarowała zaledwie $ \frac{1}{6} $ liczby prezentów, które dostała. Wyznaczyć, w zależności od $ n $, najmniejszą możliwą liczbę prezentów, które mogła otrzymać ciocia Renia.

LIV OM - I - Zadanie 6

Punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą w tej właśnie kolejności na okręgu $ o $. Punkt $ M $ jest środkiem tego łuku $ AB $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ C $ i $ D $; punkt $ N $ jest środkiem tego łuku $ CD $ okręgu o, który nie zawiera punktów $ A $ i $ B $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{AN^2-BN^2}{AB}=\frac{DM^2-CM^2}{CD}.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 5

Liczba naturalna $ n_1 $ zapisana jest w układzie dziesiętnym za pomocą 333 cyfr, z których żadna nie jest zerem. Dla $ i = 1 , 2, 3, \ldots , 332 $ liczba $ n_{i+1} $ powstaje z liczby $ n_i $ przez przeniesienie cyfry jedności na początek. Dowieść, że albo wszystkie liczby $ n_1, n_2, n_3, \ldots , n_{333} $ są podzielne przez 333, albo żadna z nich.

Subskrybuje zawartość