2000-2001

LII OM - II - Zadanie 2

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym $AB < BC$ . Punkty $D$ , $E$ są wierzchołkami kwadratu $ABDE$ . Okrąg o średnicy $AC$ przecina prostą $DE$ w punktach $P$ i $Q$ , przy czym punkt $P$ należy do odcinka $DE$ . Proste $AQ$ i $BD$ przecinają się w punkcie $R$ . Udowodnić, że $DP = DR$ .

LII OM - II - Zadanie 1

Dane są liczby naturalne $k$ , $n$ większe od $1$ , przy czym liczba $p = 2k-1$ jest pierwsza. Dowieść, że jeżeli liczba

$ {n \choose 2} - {k \choose 2} $

jest podzielna przez $p$ , to jest ona podzielna przez $p^2$ .

LII OM - I - Zadanie 12

Rozpatrujemy ciągi liczb całkowitych $x_0,x_1,\ldots,x_{2000}$ spełniające warunki

$ x_0 = 0\ \textrm{oraz}\ |x_n| = |x_{n-1} + 1| \ \textrm{dla}\ n = 1,2,\ldots,2000. $

Znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia $|x_1 + x_2 +\ldots + x_{2000}|$ .

LII OM - I - Zadanie 11

Układ liczb całkowitych dodatnich $c_1,c_2,\ldots,c_n$ nazwiemy dopuszczalnym, gdy za pomocą wagi szalkowej i dwóch kompletów odważników o ciężarach $c_1,c_2,\ldots,c_n$ można zważyć dowolny przedmiot o ciężarze będącym liczbą naturalną nie przekraczającą $2(c_1 + c_2 +\ldots + c_n)$ . Dla każdej liczby $n$ wyznaczyć maksymalną sumę $n$ liczb tworzących układ dopuszczalny.

Uwaga: Odważniki można kłaść na obie szalki wagi.

LII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że wewnątrz dowolnego trójkąta $ABC$ istnieje punkt $P$ o następującej własności:

Każda prosta przechodząca przez punkt $P$ dzieli obwód trójkąta $ABC$ w takim samym stosunku, w jakim dzieli ona jego pole.

LII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że wśród dowolnych $12$ kolejnych liczb całkowitych dodatnich istnieje liczba nie będąca sumą $10$ czwartych potęg liczb całkowitych.

LII OM - I - Zadanie 8

Rozstrzygnąć, dla jakich par liczb naturalnych $m$ i $n$ prostokąt o bokach długości $m$ i $n$ można pociąć na części przystające do figury na rysunku. Każdy z czterech kwadratów na rysunku ma bok długości $1$ .

LII OM - I - Zadanie 7

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $A$ . Punkty $D$ i $E$ leżą na przeciwprostokątnej $BC$ , przy czym $\measuredangle DAE = 45^\circ$ . Okrąg opisany na trójkącie $ADE$ przecina boki $AB$ i $AC$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Dowieść, że $BP + CQ = PQ$ .