1999-2000

LI OM - II - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy każdą liczbę wymierną dodatnią można przedstawić w postaci

$ \frac{a^2+b^3}{c^5+d^7}, $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkty $D$ , $E$ , $F$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ . Okręgi opisane na trójkątach $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ przecinają się w punkcie $P$ . Udowodnić, że jeżeli

$ \frac{PD}{PE} = \frac{BD}{AE},\ \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{BF},\ \frac{PF}{PD} = \frac{AF}{CD}, $

to $AD$ , $BE$ , $CF$ są wysokościami trójkąta $ABC$ .

LI OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba całkowita dodatnia $n$ oraz zbiór $M$ , złożony z $n^2 + 1$ różnych liczb całkowitych dodatnich i mający następującą własność: wśród $n+1$ liczb dowolnie wybranych ze zbioru $M$ znajduje się para liczb, z których jedna dzieli się przez drugą. Udowodnić, że w zbiorze $M$ istnieją różne liczby $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$ spełniające warunek: dla $i = 1,2,\ldots,n$ liczba $a_i$ dzieli się przez $a_{i+1}$ .

LI OM - I - Zadanie 10

W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ . Niech $\omega$ będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt $O$ , zaś $A'$ , $B'$ , $C'$ - rzutami punktów $A$ , $B$ , $C$ odpowiednio na płaszczyznę $\omega$ . Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia

$ (1) \quad (OA')^2 + (OB')^2 + (OC')^2 $

dla wszystkich płaszczyzn $\omega$ .

LI OM - I - Zadanie 9

Dane są takie liczby całkowite dodatnie $m$ i $n$ , że $mn | m^2 + n^2 + m$ . Wykazać, że $m$ jest kwadratem liczby całkowitej.

LI OM - I - Zadanie 8

Liczby $c(n,k)$ są określone dla liczb całkowitych nieujemnych $n\geq k$ w ten sposób, że zachodzą równości:

$ c(n,0) = c(n,n) = 1\ \textrm{dla każdej liczby}\ n \geq 0, $

$ c(n+1,k) = 2^kc(n,k) + c(n,k-1)\ \textrm{dla}\ n\geq k \geq 1. $

Dowieść, że $c(n,k) = c(n,n-k)$ dla $n\geq k \geq 0$ .

LI OM - I - Zadanie 7

Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ i dowolnej liczby $t\in(\frac{1}{2},1)$ istnieją takie liczby $a,b \in (1999,2000)$ , że

$ \frac{1}{2}a^{n}+\frac{1}{2}b^{n}<(ta+(1-t)b)^{n}. $

LI OM - I - Zadanie 6

Punkt $X$ leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta $ABC$ , w którym kąt $C$ jest prosty. Punkty $P$ , $Q$ i $R$ są odpowiednio rzutami punktu $X$ na boki $BC$ , $CA$ i $AB$ . Udowodnić, ze równość