1998-1999

L OM - II - Zadanie 2

Sześcian $S$ o krawędzi $2$ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $S$ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $T$ o krawędzi $2^n$ jest zbudowany z $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $T$ dowolnego spośród $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.

L OM - II - Zadanie 1

Dana jest funkcja $f: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ taka, że $f(\frac{1}{n}) = (-1)^n$ dla $n = 1, 2,\ldots$ . Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące $g: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ , $h: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ , że $f = g - h$ .

L OM - I - Zadanie 12

Wszystkie wierzchołki sześcianu o krawędzi $a$ leżą na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi 1. Wyznaczyć możliwe wartości $a$ .

L OM - I - Zadanie 11

W urnie znajdują się dwie kule: biała i czarna. Ponadto mamy do dyspozycji $50$ kul białych i $50$ czarnych. Wykonujemy $50$ razy następującą czynność: losujemy z urny kulę, a następnie wrzucamy ją z powrotem do urny oraz dokładamy jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana kula. Po zakończeniu tych czynności mamy więc w urnie $52$ kule. Jaka liczba kul białych znajdujących się w urnie jest najbardziej prawdopodobna?

L OM - I - Zadanie 10

Dana jest liczba $x_1 > 0$ . Ciag $(x_n)$ jest zdefiniowany wzorem:

$<br /> x_{n+1} = x_n +\frac{1}{x_n^2}\quad \textrm{dla}\ n = 1, 2, 3,\ldots .<br />$

Udowodnić, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}$ i obliczyć ją.

L OM - I - Zadanie 9

Punkty $D$ , $E$ , $F$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ . Okręgi wpisane w trójkąty $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt $DEF$ . Udowodnić, że proste $AD$ , $BE$ , $CF$ przecinają się w jednym punkcie.

L OM - I - Zadanie 8

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ oraz zbiór $n$ -elementowy $S$ . Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną $k$ , dla której istnieją podzbiory $A_1, A_2,\ldots, A_k$ zbioru $S$ o następującej własności:

dla dowolnych dwóch różnych elementów $a, b \in S$ , istnieje taka liczba $j \in \{1, 2,\ldots, k\}$ , że zbiór $A_j \cap \{a, b\}$ jest jednoelementowy.

L OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Wyznaczyć wszystkie wielomiany $P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$ mające dokładnie $n$ pierwiastków nie większych niż $-1$ oraz spełniające warunek

$<br /> a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1} .<br />$

Uwaga: Pierwiastki są liczone z uwzględnieniem krotności: jeśli liczba $x_0$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $P(x)$ (tzn. jeśli wielomian $P(x)$ jest podzielny przez wielomian $(x - x_0)^k$ , ale nie przez $(x - x_0)^{k+1}$ ), wówczas liczba $x_0$ jest traktowana jak $k$ pierwiastków wielomianu $P(x)$ .

L OM - I - Zadanie 6

Przekątne $AC$ i $BD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $P$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Prosta $MP$ przecina bok $CD$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że stosunek pól trójkątów $BCP$ i $ADP$ jest równy stosunkowi długości odcinków $CQ$ i $DQ$ .