1997-1998

XLIX OM - I - Zadanie 2

Proste zawierające wysokości trójkąta $ABC$ , wpisanego w okrąg o środku $O$ , przecinają się w punkcie $H$ , przy czym $|AO| =|AH|$ . Obliczyć miarę kąta $CAB$ .

XLIX OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ \left\{\begin{split} &|x-y|-\frac{|x|}{x}=-1\\ &|2x-y|+|x+y-1|+|x-y|+y-1=0. \end{split}\right. $

Rozważamy na płaszczyźnie kwadraty jednostkowe, których wierzchołki mają obie współrzędne całkowite. Niech $S$ będzie szachownicą, której polami są wszystkie kwadraty jednostkowe zawarte w kole określonym nierównością $x^2+y^2 \leq 1998^2$ . Na wszystkich polach szachownicy piszemy liczbę $+1$ . Wykonujemy ciąg operacji. Każda z nich polega na wybraniu dowolnego rzędu poziomego, pionowego lub ukośnego i zmianie znaków wszystkich liczb napisanych na polach wybranego rzędu. (Rząd ukośny tworzą wszystkie pola szachownicy $S$ , których środki leżą na pewnej prostej przecinającej osie układu współrzędnych pod kątem $45^\circ$ .)

Rozstrzygnąć, czy w ten sposób można doprowadzić do sytuacji, w której na jednym polu będzie napisana liczba $-1$ , a na pozostałych $+1$ .

XLIX OM - III - Zadanie 5

Punkty $D$ i $E$ leżą na boku $AB$ trójkąta $ABC$ i spełniają warunek

$ \frac{AD}{DB}\cdot\frac{AE}{EB}=\left(\frac{AC}{CB}\right)^2. $

Udowodnić, że $\measuredangle ACD =\measuredangle BCE$ .

XLIX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że w ciągu $(a_n)$ określonym wzorami

$ a_1 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{[n/2]}\ \textrm{dla}\ n = 2,3,4,\ldots $

występuje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez $7$ .

Uwaga: $[n/2]$ jest największą liczbą całkowitą nie przekraczającą $n/2$ .

XLIX OM - III - Zadanie 3

Pięciokąt wypukły $ABCDE$ jest podstawą ostrosłupa $ABCDES$ . Płaszczyzna przecina krawędzie $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ , $SE$ odpowiednio w punktach $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ , $E'$ (różnych od wierzchołków ostrosłupa). Udowodnić, że punkty przecięcia przekątnych czworokątów $ABB'A'$ , $BCC'B'$ , $CDD'C'$ , $DEE'D'$ , $EAA'E'$ leżą na jednej płaszczyźnie.

XLIX OM - III - Zadanie 2

Ciąg Fibonacciego $(F_n)$ jest dany wzorami:

$ F_0 = F_1 = 1,\ F_{n+2} = F_n + F_{n+1} \ \textrm{dla}\ n = 0,1, 2,\ldots . $

Wyznaczyć wszystkie pary $(k, m)$ liczb całkowitych $m > k \geq 0$ , dla których w ciągu $(x_n)$ określonym wzorami

$ x_0=\frac{F_k}{F_m}, \quad x_{n+1}= \left\{\begin{array}{cll} \frac{2x_n-1}{1-x_n}&\textrm{gdy}&x_n \neq 1\\ 1&\textrm{gdy}&x_n = 1 \end{array}\right. \quad (n=0,1,2,3,\ldots) $

występuje liczba $1$ .

XLIX OM - III - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie układy liczb całkowitych $(a, b, c, x, y, z)$ spełniające układ równań

$ \left\{\begin{array}{l} a + b + c = xyz\\ x + y + z = abc \end{array}\right. $

oraz warunki $a\geq b \geq c \geq 1$ , $x\geq y\geq z \geq 1$ .

XLIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest czworościan $ABCD$ . Dowieść, że krawędzie $AB$ i $CD$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok $CDPQ$ , że $PA = PB = PD$ oraz $QA = QB = QC$ .