1994-1995

XLVI OM - II - Zadanie 2

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ zachodzą następujące równości: $|AB| = |BC|$ , $|CD| = |DE|$ , $|EF| = |FA|$ . Wykazać, że proste zawierające wysokości trójkątów $BCD$ , $DEF$ i $FAB$ poprowadzone odpowiednio z wierzchołków $C$ , $E$ , $A$ przecinają się w jednym punkcie.

XLVI OM - II - Zadanie 1

Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli liczba $P(5)$ dzieli się przez 2, a liczba $P(2)$ dzieli się przez 5, to liczba $P(7)$ dzieli się przez 10.

XLVI OM - I - Zadanie 12

Ciąg $(x_n)$ jest określony następująco:

$ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_n = \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1} \quad \text{ dla } n=2,3,4,\ldots . $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ zachodzi nierówność

$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < 1. $

XLVI OM - I - Zadanie 11

Dane są liczby naturalne $n > m > 1$ . Ze zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ losujemy bez zwracania $m$ liczb. Obliczyć wartość oczekiwaną różnicy między największą a najmniejszą wylosowaną liczbą.

XLVI OM - I - Zadanie 10

Dana jest prosta $k$ oraz leżące na niej trzy różne punkty. Każdy z nich jest początkiem pary półprostych; wszystkie te półproste leżą w jednej półpłaszczyźnie o krawędzi $k$ . Każda z tych par półprostych wyznacza z każdą inną czworokąt. Dowieść, że jeśli w dwa z tych czworokątów można wpisać okrąg, to również w trzeci można wpisać okrąg.

XLVI OM - I - Zadanie 9

Niech $a$ i $b$ będą liczbami rzeczywistymi, których suma jest równa 1. Wykazać, że jeżeli $a^3$ i $b^3$ są liczbami wymiernymi, to $a$ i $b$ też są liczbami wymiernymi.

XLVI OM - I - Zadanie 8

W ostrosłupie prawidłowym $n$ -kątnym kąty nachylenia ściany bocznej i krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynoszą odpowiednio $\alpha$ i $\beta$ . Udowodnić, że $\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta \leq \tan ^2 \frac{\pi}{2n}$ .

XLVI OM - I - Zadanie 7

(a) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

$ 2f(f(x)) = f(x) \geq 0 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R} $

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

$ -1 \leq 2f(f(x)) = f(x) \leq 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R} $

XLVI OM - I - Zadanie 6

Wewnątrz trójkąta $ABC$ obrano punkt $P$ . Proste $AP$ , $BP$ , $CP$ przecinają boki $BC$ , $CA$ , $AB$ odpowiednio w punktach $A'$ , $B'$ , $C'$ . Przyjmijmy: $u=|AP|:|PA'|$ , $v=|BP|:|PB'|$ , $w=|CP|:|PC'|$ . Wyrazić iloczyn $uvw$ przez sumę $u+v+w$ .