1993-1994

XLV OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ P(x) $ stopnia co najwyżej piątego o współczynnikach rzeczywistych, mające tę własność, że wielomian $ P(x) + 1 $ jest podzielny przez $ (x - 1)^3 $ a wielomian $ P(x) - 1 $ jest podzielny przez $ (x + 1)^3 $.

XLV OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że sumy przeciwległych kątów dwuściennych czworościanu są równe wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe.

XLV OM - I - Zadanie 11

Trójkąt o obwodzie $ 2p $ jest wpisany w koło o promieniu $ R $ i opisany na kole o promieniu $ r $. Dowieść, że $ p < 2(R + r) $.

XLV OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $ p $ i $ q $ spełniają warunek $ p+q=1 $. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych $ m $ i $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> (1 - p^m)^n +(1- q^n)^m \geq 1.<br /> \]

XLV OM - I - Zadanie 9

W konferencji bierze udział $ 2n $ osób. Każdy uczestnik konferencji ma wśród pozostałych uczestników co najmniej $ n $ znajomych. Udowodnić, że wszystkich uczestników konferencji można zakwaterować w pokojach dwuosobowych tak, by każdy uczestnik mieszkał ze swoim znajomym.

XLV OM - I - Zadanie 8

Dane są takie liczby naturalne $ a $, $ b $, $ c $, że $ a^3 $ dzieli się przez $ b $, $ b^3 $ dzieli się przez $ c $, a $ c^3 $ dzieli się przez $ a $. Udowodnić, że liczba $ (a+b+c)^{13} $ jest podzielna przez $ abc $.

XLV OM - I - Zadanie 7

Na zewnątrz czworokąta wypukłego $ ABCD $ budujemy trójkąty podobne $ APB $, $ BQC $, $ CRD $, $ DBA $ w ten sposób, że

\[<br /> |\measuredangle PAB| = |\measuredangle QBC| = |\measuredangle RCD| = |\measuredangle SDA|,<br /> |\measuredangle PBA| = |\measuredangle QCB| = |\measuredangle RDC| = |\measuredangle SAD|·<br /> \]

Dowieść, że jeśli czworokąt $ PQRB $ jest równoległobokiem, to czworokąt $ ABCD $ też jest równoległobokiem.

XLV OM - I - Zadanie 6

Funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ jest ciągła. Wykazać, że jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ istnieje taka liczba naturalna $ n $, że $ (\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n})(x) = 1 $, to $ f(1)=1 $.

XLV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $ x^3 + ax^2 + bx + c $ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian $ x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x +\frac{1}{8}(ab - c) $ także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Subskrybuje zawartość