1991-1992

XLIII OM - II - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Niech $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $b_1, b_2, \ldots , b_n$ będą liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że następujące warunki są równoważne:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$

zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n a_i x_i \leq \sum_{i=1}^n b_i x_i. $

Dla każdej liczby naturalnej $k\in \{1,2,\ldots, n-1\}$ zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i, \quad \text{ a ponadto} \quad \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i. $

XLIII OM - II - Zadanie 1

Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite; długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód wielokąta jest liczbą parzystą.

Na płaszczyźnie narysowane cztery proste tak, że żadne dwie z nich nie są równoległe i żadne trzy nie mają punktu wspóinego. Proste te wyznaczają cztery trójkąty. Udowodnić, że ortocentra tych trójkątów leżą na jednej prostej.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości.

XLIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $n\geq 1$ . Rozważamy tabelę zbudowaną z $n(n+1)/2$ okienek, ustawionych w $n$ rzędach: jedno okienko w pierwszym rzędzie, dwa w drugim itd., $n$ okienek w $n$ -tym rzędzie. W okienka tabeli wpisujemy w sposób losowy liczby od $1$ do $n(n + l )/2$ . Niech $m_k$ będzie największą z liczb w $k$ -tym rzędzie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $m_1 < m_2 < \ldots < m_n$ .

XLIII OM - I - Zadanie 10

Danych jest $n$ liczb $a_1\leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$ . Przyjmujemy

$ M_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i,\; M_2 = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{1\leq i < j\leq n} a_ia_j, \; Q = \sqrt{M_1^2 - M_2}. $

Udowodnić, że

$ a_1 \leq M_1 - Q \leq M + Q \leq a_n $

XLIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że wśród dowolnych $n+2$ liczb całkowitych istnieją takie dwie, których suma lub różnica dzieli się przez $2n$ .

XLIII OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ABCD$ sumy długości przeciwległych krawędzi wynoszą $1$ . Okręgi wpisane w ściany $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ i $ABC$ mają promienie $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ , $r_D$ . Udowodnić, że

$ r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{1}{3}\sqrt{3} $

oraz równość ma miejsce dla czworościanu foremnego.

XLIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt wypukły $Q$ i prosta $l$ .

(a) Wykazać, że istnieje dokładnie jeden wielokąt $r$ symetryczny względem $l$ i taki, że dla każdej prostej $s$ prostopadłej do $l$ części wspólne $s \cap R$ oraz $s \cap Q$ są odcinkami równej długości, albo zbiorami jednopunktowymi, albo zbiorami pustymi.