1989-1990

XLI OM - II - Zadanie 2

W przestrzeni dany jest punkt $ O $ oraz skończony zbiór wektorów $ \overrightarrow{v_1},\ldots,\overrightarrow{v_n} $. Rozważamy zbiór tych punktów $ P $, dla których wektor $ \overrightarrow{OP} $ daje się przedstawić w postaci sumy $ a_1 \overrightarrow{v_1} + \ldots + a_n\overrightarrow{v_n} $ o współczynnikach spełniających nierówności $ 0 \leq a_i \leq 1 $ ($ i = 1, 2, \ldots, n $). Rozstrzygnąć, czy zbiór ten może być czworościanem.

XLI OM - II - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br /> (xy-l)^2 = (x + l)^2 + (y + l)^2.<br /> \]

XLI OM - I - Zadanie 12

Pięciokąt wypukły ma pole $ S $. Niech $ S_1 $, $ S_2 $ , $ S_3 $, $ S_4 $, $ S_5 $ będą polami pięciu trójkątów odciętych przez przekątne pięciokąta (wierzchołkami każdego z tych trójkątów są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta). Udowodnić, że suma pewnych czterech liczb $ S_j $ przekracza $ S $.

XLI OM - I - Zadanie 11

W urnie znajduje się n kartek ponumerowanych liczbami od 1 do $ n $. Wyciągamy z urny bez zwracania kolejno $ k $ kartek; $ n $ i $ k $ są ustalonymi liczbami naturalnymi, $ 1 \leq k \leq n $. Niech $ x_i $ będzie numerem $ i $-tej wyciągniętej kartki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu $ (0,x_1,\ldots, x_k, 0) $ jest dokładnie jedno maksimum lokalne.

Uwaga. Wyraz ciągu nazywamy maksimum lokalnym, jeśli jest liczbą większą od obu wyrazów sąsiednich.

XLI OM - I - Zadanie 10

Dla danej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ wyznaczyć liczby dodatnie $ x_1,\ldots,x_n $ o sumie równej $ 1 $, dla których iloczyn

\[<br /> x_1^1\cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n<br /> \]

osiąga wartość maksymalną.

XLI OM - I - Zadanie 9

Rozstrzygnąć, czy istnieje taki wielomian $ W(x) $ o współczynnikach wymiernych, że dla każdego całkowitego $ k $ wartość $ W(3k+1) $ jest liczbą całkowitą nieparzystą, a $ W(3k+2) $ — liczbą całkowitą parzystą.

XLI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $ n $, dla których każda z liczb $ n-1 $, $ n $, $ n+1 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

XLI OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> \binom{2n}{n}\cdot \sqrt{3n} < 4^n<br /> \]

XLI OM - I - Zadanie 6

Niech $ M $ będzie dowolnym punktem czworościanu $ ABCD $. Oznaczmy pola ścian $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $, $ ABC $ odpowiednio przez $ S_A $, $ S_B $, $ S_C $, $ S_D $ objętość zaś czworościanu przez $ V $. Udowodnić, że

\[<br /> S_A\cdot |MA| + S_B\cdot |MB| + S_C\cdot |MC| + S_D\cdot|MD| \geq 9V.<br /> \]

XLI OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że krawędzi sześcianu nie da się ponumerować liczbami od 1 do 12 tak, by suma numerów krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka była taka sama.

Czy można spełnić ten warunek numerując krawędzie dwunastoma różnymi liczbami ze zbioru $ \{1,2,\ldots,13\} $?

Subskrybuje zawartość