1988-1989

XL OM - II - Zadanie 2

Dla losowo wybranej permutacji $ \mathbf{f} = (f_1,</p> <p>\ldots, f_n) $ zbioru $ \{1,\ldots, n\} $ oznaczmy przez $ X(\mathbf{f}) $ największą liczbę $ k \leq n $ taką, że $ f_i < f_{i+1} $ dla wszystkich numerów $ i < k $. Udowodnić, że wartość oczekiwana zmiennej losowej $ X $ wynosi $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} $.

XL OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej $ k\geq l $ istnieje taka liczba rzeczywista $ x $, że przy każdym całkowitym $ m \geq 1 $ liczba $ [x^m] + 1 $ dzieli się przez $ k $.

XL OM - I - Zadanie 11

Punkty $ A_1 $ , $ A_2 $ , $ A_3 $ , $ A_4 $ leżą na powierzchni sfery, przy czym odległość każdych dwóch z nich jest mniejsza od długości krawędzi czworościanu foremnego wpisanego w tę sferę. Dowieść, że wszystkie te punkty można oświetlić jednym punktowym źródłem światła umieszczonym na zewnątrz sfery.

XL OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ spełniają nierówności

\[<br /> \alpha+\beta+\gamma < \pi, \alpha < \beta + \gamma, \beta < \gamma + \alpha, \gamma < \alpha + \beta.<br /> \]

Udowodnić, że z odcinków o długościach $ \sin \alpha $, $ \sin \beta $, $ \sin \gamma $ można zbudować trójkąt i że pole tego trójkąta jest nie większe od

\[<br /> \frac{1}{8} (\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma).<br /> \]

XL OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ x $,$ y $,$ z $ spełniające równanie

\[<br /> 1 = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2}<br /> \]

XL OM - I - Zadanie 8

Dana jest liczba naturalna $ n $ oraz skończony ciąg liczb rzeczywistych $ A^{(1)}= (a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, \ldots, a_n^{(1)}) $. Dla każdej liczby naturalnej $ m $ wybieramy dwie liczby naturalne $ i $, $ j $ spełniające warunek $ 1 \leq i < j \leq n $ i określamy ciąg $ A^{(m+1)}= (a_1^{(m+1)}, a_2^{(m+1)}, \ldots, a_n^{(m+1)}) $, jak następuje:

\[<br /> \begin{split}<br /> a_i^{(m+1)} &= a_j^{(m+1)} = \frac{1}{2}(a_i^{(m)} + a_j^{(m)}),\\<br /> a_k^{(m+1)} = a_k^{(m)} \quad\text{dla}\quad k\neq i, j.<br /> \end{split}<br /> \]

Udowodnić, że jeżeli każda para liczb naturalnych $ (i,j) $ należących do przedziału $ \langle 1;n\rangle $ będzie wybrana nieskończenie wiele razy, to

\[<br /> \lim_{n\to \infty} a_k^{(m)} = \frac{1}{n}(a_1^{(1)} + \ldots + a_n^{(1)})<br /> \]

dla $ k = 1,2,\ldots, n $.

XL OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dany jest skończony zbiór punktów, z których każde cztery są wierzchołkami czworościanu o objętości mniejszej lub równej 1. Udowodnić, że istnieje czworościan o objętości nie większej niż 27, zawierający wszystkie te punkty.

XL OM - I - Zadanie 6

Obliczyć sumę szeregu $ \sum_{n\in A}\frac{1}{2^n} $, w którym sumowanie przebiega zbiór $ A $ wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 2, 3, 5.

XL OM - I - Zadanie 5

Dla danej liczby naturalnej $ n $ wyznaczyć liczbę ciągów $ (a_1, a_2, \ldots , a_n) $, których wyrazy $ a_i $ należą do zbioru $ \{0,1,2,3,4\} $ oraz spełniają warunek $ |a_i - a_{i+i}| = 1 $ dla $ i = 1,2,\ldots,n-1 $.

Subskrybuje zawartość